CÁLCULO NUMÉRICO - MÉTODO DA BISSECÇÃO

Localização de Raízes

Traçando o gráfico da função, podemos ter uma ideia aproximada da localização das raízes, mas para assegurarmos rigorosamente que, num intervalo, existe uma e uma só raiz, recordamos dois teoremas elementares da análise:Teorema (do Valor Intermédio):
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b].
Se f(a) f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo [a,b].

O teorema do valor intermédio garante apenas a existência. Para garantirmos a unicidade, podemos usar :Teorema (de Rolle) :
Seja f uma função diferenciável no intervalo [a,b].
Se f ' (x) =/= 0 para todo o x em [a,b], então existe no máximo um z em ]a,b[ tal que f(z) = 0.
Podemos garantir a unicidade, num caso mais geral, desde que a função f seja estritamente monótona.
Estes teoremas não nos dão um método para aproximar a solução do problema, no entanto, podemos nos basear no T. Valor Intermédio para desenvolver um método iterativo muito simples:

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MÉTODO da BISSECÇÃO

Sabendo que no intervalo [a, b] a equação f(x) = 0 tem apenas uma e uma só raiz , vamos construir
intervalos [ a_n, b_n ] com metade do comprimento dos anteriores, onde asseguramos a existência da raiz.
O método pode-se esquematizar num ciclo :

Intervalo Inicial : [ a₀, b₀ ] = [ a, b ]

Repetir :	1) xn+1 = ( an + bn) / 2 2) Se f (xn+1) f(an) < 0  Então an+1 = an; bn+1 = xn+1  Senão an+1 = xn+1; bn+1 = bn
Até que :	f(xn+1) = 0 ou |xn+1-xn| < E

Usamos o critério de paragem |x_n+1-x_n| < E onde o valor E>0 é um valor suficientemente pequeno pois neste caso o erro absoluto verificará | e_n+1 | < ½ |a_n - b_n| = |x_n+1 - x_n| < E.Para além disso, podemos determinar facilmente um majorante do erro para uma iterada x_n a partir do comprimento do intervalo inicial:
| e_n| < ½ |a_n-1 - b_n-1| = (1 / 2)ⁿ | a₀ - b₀|

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