Propriedades da Integral
Sejam- A integral, quando existir, é única, isto é
tem no máximo uma integral definida.
- A integral é linear, isto é, se
forem integráveis, então para todo
, a função
também será integrável e
- A integral é positiva, isto é, se
for integrável e positiva (isto é,
, para todo
), então a integral
será positiva. Em particular, se
forem integráveis, com
para todo
, então
- A integral é definida, isto é, se
, para todo
, então
será integrável e
- A integral é aditiva, isto é, se existirem as integrais
e
, com
, então existirá a integral
e
Isto quer dizer que sefor integrável em todos os subintervalos de um intervalo
, então
será integrável em
. Em particular, quando
, temos
.
Teorema 6.2.1 (Critério de Cauchy) Seja
tal que para todo
, exista
tal que para quaisquer divisões marcadas
e
de
, com
, tenhamos
Então
será integrável.
Então
A propriedade da integral que vamos apresentar a seguir pode ser demonstrada usando-se o Critério de Cauchy. Esta propriedade diz que se uma função for integrável em um intervalo
Seja
Observação: Note que para cada
Corolário 6.2.1 Sejam
integrável e
. Então a função
dada por
é integrável e
é integrável e
Corolário 6.2.2 Seja
integrável, com
e seja
a prolongada de
por 0 a
, isto é,
é dada por
Então
é integrável e
Então
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