Esse blog é de caráter pessoal e destina-se aos alunos e companheiros interessados em Matemática.
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sábado, 11 de fevereiro de 2012

A integral de Riemann


A integral de Riemann



Definição 6.1.1   Seja $ [a,b]\subset \mathbb{R}$ um intervalo limitado e fechado. Dizemos que
$\displaystyle d : \ a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \ , $

onde $ n\in\mathbb{N}$, é uma partição ou divisão de $ [a,b]$. Neste caso, escrevemos $ d=(x_i)$ e $ \vert d\vert=n$. Denotamos por $ D_{[a,b]}$ (ou simplesmente $ D$, quando não houver possibilidade de confusão) o conjunto de todas as divisões de $ [a,b]$.



Seja $ d=(x_i) \in D_{[a,b]}$. Então, para cada $ i=1,\ldots,\vert d\vert$, definimos

$\displaystyle \Delta x_i = x_i - x_{i-1} $

que é o ``tamanho ou comprimento do intervalo $ [x_{i-1}\,,\,x_i]$. Definimos, também,
$\displaystyle \Delta_d = \max_{1\leq i\leq \vert d\vert} \Delta x_i $

que é o ``tamanho máximo ou comprimento máximo que um intervalo $ [x_{i-1}\,,\,x_i]$ pode ter.



Definição 6.1.2   Uma divisão marcada
$\displaystyle a = x_0 \leq \xi_1 \leq x_1 \leq \xi_2 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{n-1}\leq \xi_n \leq x_n = b\ . $

de $ [a,b]$ é uma divisão $ (x_i)\in D_{[a,b]}$ isto é,
$\displaystyle a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b $

onde cada intervalo $ [x_{i-1}\,,\,x_i]$ tem uma ``marca, pertencente a este intervalo, digamos $ \xi_i$, ou seja,
$\displaystyle \xi_i\in[x_{i-1}\,,\,x_i]\,, \ \ i=1,2,\ldots, n\ . $

Neste caso escrevemos $ d=(\xi_i\,,\,x_i)$ e $ \vert d\vert=n$. Denotamos por $ DM_{[a,b]}$ (ou simplesmente $ DM$) o conjunto das divisões marcadas de $ [a,b]$.

Sejam $ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ e $ d=(\xi_i\,,\,x_i)\in DM_{[a,b]}$ e consideremos a figura seguinte.


\begin{picture}(640,360)(0,-37) \put(117,53){\vector(1,0){435}} \put(157,-23){\v... ...ier{10}(297,61)(285,57)(274,53) \bezier{4}(297,56)(292,54)(288,53) \end{picture} 
então a soma de Riemann de $ f$ em relação à $ d$ é dada por

$\displaystyle \fbox{$\displaystyle \sum^{\vert d\vert}_{i=1} f(\xi_i)\Delta x_i.$} $


Observação: Note que a soma de Riemann é igual à soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo $ 0x$ menos a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo $ 0x$. Portanto a soma de Riemann é a diferença entre a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo $ 0x$ e a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo $ 0x$.



Consideremos a figura seguinte.


\begin{picture}(640,300)(0,-20) \put(307,5){$A_1$} \put(374,92){$b$} \put(344,16... ...bezier{20}(127,113)(127,93)(127,73) \put(127.4,110){\line(0,1){6}} \end{picture} 
Sejam $ f$ uma função contínua definida em $ [a,b]$ e $ d=(\xi_i,x_i)\in DM_{[a,b]}$ tal que $\displaystyle \Delta_d = \max_{1\leq i\leq \vert d\vert} \Delta x_i $ seja suficientemente pequeno. Então a área

$\displaystyle A = A_1 - A_2,$

pode ser aproximada pela soma de Riemann
$\displaystyle \sum_{i=1}^{\vert d\vert} f(\xi_i)\Delta x_i, $

ou seja,
$\displaystyle A\cong \sum_{i=1}^{\vert d\vert} f(\xi_i)\Delta x_i\ . $

Fazendo $ \displaystyle \Delta_d \longrightarrow 0$, temos
$\displaystyle \sum_{i} f(\xi_i)\Delta x_i \ \longrightarrow \ A\ $

e, portanto,
$\displaystyle \lim_{\Delta d \rightarrow 0} \sum f(\xi_i)\Delta x_i = A\ . $


Então podemos dar a definição seguinte.


Definição 6.1.3   Diremos que uma função $ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ é Riemann integrável ou simplesmente integrável, se existir um número $ A\in \mathbb{R}$ tal que
$\displaystyle \fbox{$\displaystyle \lim_{\Delta d\rightarrow 0} \sum_{i=1}^{\vert d\vert} f(\xi_i)\Delta x_i = A\ . $}$

onde $ d=(\xi_i\,,\,x_i)\in DM_{[a,b]}$.


Escrevendo o limite acima com $ \varepsilon$'s e $ \delta$'s temos:


Definição 6.1.4   Uma função $ f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ será dita integrável, se existir $ A\in \mathbb{R}$ tal que para todo $ \varepsilon > 0$, exista $ \delta>0$ tal que
$\displaystyle \left\vert \displaystyle \sum^{\vert d\vert}_{i=1} f(\xi_i)\Delta x_i - A\right\vert < \varepsilon \ $

sempre que tivermos $ d=(\xi_i\,,\,x_i)\in DM_{[a,b]}$ com $ \Delta_d < \delta$. Neste caso, escrevemos
$\displaystyle A = \int^b_a f(x)dx $

que é chamada integral definida ou simplesmente integral de $ f$ em relação à $ x$ no intervalo $ [a,b]$.



Proposição 6.1.1   Dado $ \delta>0$, existe uma divisão marcada $ d=(\xi_i,t_i)\in DM_{[a,b]}$ tal que $ \Delta_d < \delta$.

O resultado da proposição acima é conhecido como Lema de Cousin e caracteriza o corpo dos números reais.


Definição 6.1.5   Se existir a integral $ \displaystyle \int^b_a f(x)dx$, então definiremos
$\displaystyle \displaystyle \int^a_b f(x)dx=-\int^b_a f(x)dx\,.$
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