Polinômios de Taylor
Os polinômios são as funções mais fáceis de manipular, já que os valores das funções polinomiais podem ser obtidos através de simples adições e multiplicações. Parece natural, portanto, aproximar funções mais complicadas por funções polinomiais.Nesta seção, vamos discutir a Fórmula de Taylor a qual nos fornece uma regra para determinar o polinômio de grau
O exemplo mais simples de aproximação de uma função por um polinômio é a aproximação linear (diferencial) que estudamos na seção anterior. Assim como naquele caso, vamos considerar a reta tangente ao gráfico de
para aproximar a função
Observemos que, para
Daí,
ou seja, quando
e
Exemplo 5.4.1 O polinômio de Taylor de grau 1 da função
ao redor do ponto zero é 
Suponhamos, agora, que a função
Devemos procurar
Assim como anteriormente, definimos o erro que se comete ao aproximar
Observemos que, para
e, utilizando a regra de L'Hospital, obtemos
Ou seja, quando
e temos que
Exemplo 5.4.2 O polinômio de Taylor de grau 2 da função
ao redor do ponto zero é 
De forma geral, se a função dada
poderemos concluir que tal polinômio terá a seguinte forma
o qual é chamado de polinômio de Taylor de ordem n de
onde
Exercício: Verifique que, quando
O teorema a seguir nos fornece uma fórmula para o erro.
Teorema 5.4.1 Suponhamos que a função
seja
vezes diferenciável no ao redor do ponto
Então
para algum
entre
e
.
para algum
Exercício: Utilizando aproximação linear, calcule um valor aproximado para
Exercício: Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado para
Exemplo 5.4.3 O polinômio de Taylor de ordem 4 ao redor do zero da função
é 
Exemplo 5.4.4 O polinômio de Taylor de ordem
ao redor do zero da função
é 
Exercício: Calcule um valor aproximado para o número
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