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quarta-feira, 29 de fevereiro de 2012

CONVERSÃO DE NÚMEROS DECIMAIS PARA A BASE BINÁRIA E VICE-VERSA

Por mais complexo que possa parecer um computador com seus programas, internet e todas a maravilhas digitais baseiam-se no sistema de numeração binária que aliás foi contemplado por Leibniz no século [;XVII;]

afirmando em sua metafísica que Deus representaria o [;1;]

e o

representaria o "Nada". Da combinação de 1´s e zeros temos todos os números reais escritos em base binária e da junção de Deus e o Nada, temos a criação do mundo. Neste post, veremos um método para conversão de números representados no sistema decimal para o binário e vice-versa.

Dado um número [;N;]

na base $[;\beta;]$ , isto é, $[;N = (a_ja_{j-1}\ldots a_2a_1a_0)_{\beta};]$ , sendo $[;0 \leq a_k \leq \beta - 1;]$ com $[;k = 1,\ldots, j;]$ podemos também representá-lo na forma polinomial:

$[;N = a_j\beta^j + a_{j-1}\beta^{j-1}+\ldots + a_2\beta^2 + a_1\beta^1 + a_0\beta^0;]$

Por exemplo, para beta $[;\beta = 10;]$ , temos:

i) $[;(3148)_{10} = 3\times 10^3 + 1\times 10^2 + 4\times 10^1 + 8;]$

ii) $[;\frac{4}{3} = 1\times 10^1 + 3\times 10^{-1} + 3\times 10^{-2} + 3\times 10^{-3}+\ldots;]$

Para o caso em que $[;\beta = 2;]$ , teremos uma soma de potências de [;2;]

. Por exemplo, o número

corresponde ao número [;11;]

em nossa base decimal. De fato,

$[;(1011)_2 = 1\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1\times 2^0;]$

$[;= 2(1\times 2^2 + 0\times 2^1 + 1) + 1\times 2^0;]$

$[;=2(2(1\times 2 + 0) + 1) + 1 = (11)_{10};]$

Observe que o fator [;2;]

foi colocado em evidência duas vezes, mas poderia ser mais vezes conforme o tamanho do número escrito na forma binária. De qualquer modo, deste exemplo podemos obter um processo para converter um número representado no sistema binário para o sistema decimal.

Seja

a representação decimal do número $[;(a_ja_{j-1}\ldots a_2a_1a_0)_2;]$ . Assim,

$[;\begin{cases}b_j = a_j\\b_{j-1} = a_{j-1} + 2b_j\\b_{j-2} = a_{j-2} + 2b_{j-1}\\\ldots \qquad \ldots\\b_1 = a_1 + 2b_2\\b_0 = a_0 + 2b_1\\\end{cases};]$

Para o número [;(1011)_2;]

, a sequência obtida é

$[;\begin{cases}b_3 = a_3 = 1\\b_2 = a_2 + 2b_3 = 0 + 2\cdot 1 = 2\\b_1 = a_1 + 2b_2 = 1 + 2\cdot 2 = 5\\b_0 = a_0 + 2b_1 = 1 + 2\cdot 5 = 11\\\end{cases};]$

Considere agora um número entre [;0;]

, representado no sistema de numeração binária que será denotado por

$[;(r)_2 = (0.d_1d_2\ldots d_j\ldots)_2;]$

Para obter sua representação no sistema decimal, definimos [;r_1 = r;]

e a cada iteração [;k;]

, o processo de conversão multiplica o número [;r_k;]

por $[;(10)_{10};]$ e obtém o dígito [;b_k;]

como sendo a parte inteira deste produto convertido para a base decimal. É importante observar que as operações devem ser efetuadas no sistema de numeração binário.

Exemplo 1: Converta o número [;(r)_2 = 0.011;]

para a base decimal.

Resolução: Neste post, usarei o ponto ao invés da vírgula para separar a parte inteira da decimal dos números. Pelo procedimento acima, temos [;r_1 = r = 0.011;]

. Considere a sequência de operações dadas por

$[;w_1 = (1010)_2\times r_1 = 1010\times 0.011 = 11.11 \quad \Rightarrow \quad b_1 = 3 \quad \text{e} \quad r_2 = 0.11;]$ ,

$[;w_2 = (1010)_2\times r_2 = 1010\times 0.11 = 111.1 \quad \Rightarrow \quad b_2 = 7 \quad \text{e} \quad r_3 = 0.1;]$ ,

$[;w_3 = (1010)_2\times r_3 = 1010\times 0.1 = 101 \quad \Rightarrow \quad b_3 = 5 \quad \text{e} \quad r_4 = 0;]$

Como o último resto [;r_4;]

é nulo, terminamos o processo de conversão. Logo, $[;(0.011)_2 = (0.375)_{10};]$ .

Veremos agora um procedimento para converter um número inteiro representado no sistema decimal para o sistema de numeração binária. Para facilitar o entendimento, explicaremos através de um exemplo.

Exemplo 2: Converta o número [;186;]

para a base binária.

Resolução: Seja $[;(a_ja_{j-1}\ldots a_1a_0)_2;]$ a sua representação na base [;2;]

. Temos então que

$[;186 = 2(a_j\times 2^{j-1} + a_{j-1}\times 2^{j-2}+\ldots + a_2\times 2 + a_1) + a_0;]$

$[;= 2\times 93 + 0 \quad \Rightarrow \quad a_0 = 0;]$

ou seja, o último dígito representa o resto da divisão de [;186;]

por

. Repetindo este processo para o número $[;N_1 = 93 = 2\times 46 + 1;]$ , segue que [;a_1 = 1;]

e assim sucessivamente, obtemos:

$[;N_2 = 46 = 2\times 23 + 0 \quad \Rightarrow \quad a_2 = 0;]$

$[;N_3 = 23 = 2\times 11 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_3 = 1;]$

$[;N_4 = 11 = 2\times 5 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_4 = 1;]$

$[;N_5 = 5 = 2\times 2 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_5 = 1;]$

$[;N_6 = 2 = 2\times 1 + 0 \quad \Rightarrow \quad a_6 = 0;]$

$[;N_7 = 1 = 2\times 0 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_7 = 1;]$

Logo, $[;(186)_{10} = (10111010)_2;]$ .

Consideremos agora a conversão de um número fracionário da base [;10;]

para a base [;2;]

. Dizemos que um número racional [;r;]

, $[;0 \prec r \prec 1;]$ tem representação finita se ele possui um número finito de casas decimais. Por exemplo, [;r = 0.125;]

Dado um número entre [;0;]

no sistema decimal, como obter sua representação binária? Explicaremos o processo através de um exemplo, convertendo o número [;0.1875;]

para o sistema de numeração binária. Note que existem dígitos binários [;d_1;]

, $[;\dots;]$ , [;d_j;]

, $[;\ldots;]$ tais que

$[;(0.1875)_{10} = (0.d_1d_2\ldots d_j\ldots)_2;]$

$[;(0.1875)_{10} = d_1\times 2^{-1} + d_2\times 2^{-2}+\ldots + d_j2^{-j}+\ldots;]$

Multiplicando a expressão acima por [;2;]

, temos:

$[;2\times 0.1875 = d_1 + d_2\times 2^{-1}+\ldots + d_j2^{-j+1}+\ldots;]$

$0.375 = d_1 + d_2\times 2^{-1} + \ldots + d_j\times 2^{-j + 1}+\ldots \quad \Rightarrow \quad d_1 = 0$

ou seja,

representa a parte inteira de $[;2\times 0.1875;]$ que é igual a zero e $[;d_2\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+1}+\ldots;]$ representa a parte fracionária de $[;2\times 0.1875;]$ que é [;0.375;]

. Aplicando o procedimento para [;0.375;]

, temos

$[;2\times 0.375 = 0.75 = d_2 + d_3\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+2}+\ldots \quad \Rightarrow \quad d_2 = 0;]$

$[;2\times 0.75 = 1.5 = d_3 + d_4\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+3}+\ldots \quad \Rightarrow \quad d_3 = 1;]$

$[;2\times 0.5 = 1 = d_4 + d_5\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+4}+\ldots \quad \Rightarrow;]$

$[;\quad d_4 = 1 \quad \text{e} \quad d_j = 0, \ \forall j \geq 5;]$

Observação: Um número real entre [;0;]

pode ter representação finita no sistema decimal, mas representação infinita no sistema binário.

Exercício: Converta os números abaixo:
1) $[;(65)_{10};]$ para a base binária.
R: $[;(1000001)_{2};]$

2) $[;(1/3)_{10};]$ para a base binária.
R: $[;(0.01010101\ldots)_2;]$

3) $[;(\sqrt{2})_{10};]$ para a base binária. Sugestão: Considere $[;\sqrt(2) = 1.4142135;]$
R: $[;(1.011010100001\ldots)_2;]$

4) [;(10101110)_2;]

para a base decimal.
R: [;174;]