Para definir uma partição de , usando a congruência módulo , primeiramente define-se para cada inteiro a classe de equivalência de , segundo , como:
Nesses termos, o quociente de pela relação é a partição dada por:
Uma das formas de visualizar essa partição de é imaginar que sobre um barbante foram marcados todos os números inteiros, separando os números adjacentes sempre por uma mesma distância. Depois disso, para obter uma representação de , enrola-se o barbante em torno de uma circunferência (infinitas vezes!), de modo que o zero ocupe a mesma posição que os inteiros . Você pode então pensar nos elementos de como sendo os n pontos sobre a circunferência que se formou. Veja uma ilustração:
Deste modo, cada ponto da circunferência representa uma das classes de equivalência módulo , ou seja, o conjunto dos números inteiros que ficaram sobrepostos naquele ponto da circunferência.
Mas o que há de interessante em particionar o conjunto dos números inteiros?
A grande utilidade de separar os números inteiros em várias classes de congruência é consequência da compatibilidade da congruência com as operações de adição e multiplicação: Sabendo-se que elas são compatíveis, é possível definir em cada novas operações de adição e multiplicação. O procedimento é o seguinte:
Fixado um inteiro , e dadas as classes , define-se:
- (ou simplesmente )
É importante notar onde é utilizada a compatibilidade da congruência com as operações de : Dadas duas classes de equivalência e , tanto faz obter como sendo ou . Todas essas classes são idênticas!
Mais do que isso, ao definir essas operações, torna-se um anel com unidade, ou seja, são válidas as seguintes propriedades:
Além disso, tem-se um homomorfismo de anéis entre e :
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