MATEMÁTICA É ASSIM, TAMBÉM !: junho 2012

sexta-feira, 29 de junho de 2012

domingo, 17 de junho de 2012

LINKS PARA OS PAPMEM DE TODOS OS ANOS

PAPMEM: Julho de 2005

Geometria Analítica do Plano - Prof. Elon (IMPA)
Combinatória I - Prof. Morgado (IMPA)
Volumes I - Prof. Wagner (IMPA)
Geometria Analítica no Espaço - Prof. Elon (IMPA)
Aplicações de Geometria Analítica - Prof. Paulo Cezar (IMPA)
Combinatória II - Prof. Morgado (IMPA)
Volumes II - Prof. Wagner (IMPA)
Probabilidades - Prof. Paulo Cezar (IMPA)
Discussão - 1^a parte (IMPA)
Discussão - 2^a parte (IMPA)

PAPMEM: Janeiro de 2005

Função Exponencial - Prof. Elon (*) (IMPA)
Funções Trigonométricas -Prof. Paulo Cezar (Funções Trigonométricas) (IMPA)
Aplicações Trigonométricas - Prof. Wagner (IMPA)
Logarímos - Prof. Elon (IMPA)
Geometria Espacial de Posição - Prof. Paulo Cezar (Geometria Espacial de Posição) (IMPA)
Progressções - Prof. Morgado (IMPA)
Poliedros - Prof. Wagner (IMPA)
Matem&aactive;tica Financeira - Prof. Morgado (IMPA)
Discussão I - Todos (IMPA)
Discussão II - Todos (IMPA)
Programa de Som utilizado na aula de Funções Trigonométricas

PAPMEM: Julho de 2004

Conjuntos e Números Naturais - Prof. Elon (IMPA)
Indução - Prof. Morgado (IMPA)
Números Cardinais - Prof. Elon (IMPA)
Números Reais - Prof. Paulo Cezar (IMPA)
Função Afim - Prof. Wagner (IMPA)
Função Quadrática - 1^a parte - Prof. Paulo Cezar (IMPA)
Função Quadrática - 2^a parte - Prof. Wagner (IMPA)
Funções Polinomiais - Prof. Morgado (IMPA)
Discussão - 1^a parte (IMPA)
Discussão - 2^a parte (IMPA)

PAPMEM: Janeiro de 2004

Equação do Segundo Grau I - Prof. Elon (IMPA)
Triàngulo Retàngulo I - Prof. Wagner (IMPA)
Problemas de Contagem - Prof. Morgado (IMPA)
Trigonometria - Prof. Paulo Cezar (IMPA)
Triàngulo Retàngulo II - Prof. Wagner (IMPA)
Equação do Segundo Grau II - Prof. Elon (IMPA)
Problemas de Segundo Grau - Prof. Morgado (IMPA)
Probabilidade - Prof. Paulo Cezar (IMPA)
Discussão I - Todos (IMPA)
Discussão II - Todos (IMPA)

PAPMEM: Julho de 2003

Proporcionalidade - 1^a parte (IMPA)
Equações do Primeiro Grau - 1^a parte (IMPA)
Áreas - 1^a parte (IMPA)
Estatística - 1^a parte (IMPA)
Proporcionalidade - 2^a parte (IMPA)
Equações do Primeiro Grau - 2^a parte (IMPA)
Áreas - 2^a parte (IMPA)
Estatística - 2^a parte (IMPA)
Discussão - 1^a parte (IMPA)
Discussão - 2^a parte (IMPA)
Vídeo "The Story of PI"
Vídeo "Similarity"

sábado, 16 de junho de 2012

PAPMEM: Janeiro de 2003

Funções Quadráticas (IMPA)
Funções Trigonométricas (IMPA)
Recorrèncias (IMPA)
Funções Exponenciais e Logarítmicas I (IMPA)
Aplicações de Trigonometria (IMPA)
Aplicações de Funções Quadráticas (IMPA)
Polinômios (IMPA)
Funções Exponenciais e Logarítmicas II (IMPA)
Discussão - 1^a parte (IMPA)
Discussão - 2^a parte (IMPA)
Comentários Jacob Palis - Diretor do Impa (IMPA)

PAPMEM: Julho de 2002

Áreas (IMPA)
Pontos, Retas e Planos (IMPA)
Matemática Financeira (IMPA)
Combinatória I (IMPA)
Poliédros (IMPA)
Volumes (IMPA)
Combinatória II (IMPA)
Probabilidade (IMPA)
Discussão - 1^a parte (IMPA)
Discussão - 2^a parte (IMPA)

PAPMEM: Janeiro de 2002

Sistemas de Coordenadas (IMPA)
Números Complexos - 1^a parte (IMPA)
Sistemas 2x2, 2x3 e 3x2 (IMPA)
Números Complexos - 2^a parte (IMPA)
Equações do Plano (IMPA)
Matrizes (IMPA)
Determinantes (IMPA)
Perguntas e Respostas (IMPA)

quarta-feira, 13 de junho de 2012

PAPMEM: Janeiro de 2001

Link para o vídeo do PAPMEM - janeiro de 2001

- 22-01-01 - 09:15 - 10:30 - Professor Elon - Proporcionalidade e Funções Afins download
- 22-01-01 - 10:45 - 12:00 - Professor Wagner - Aplicações da Trigonometria download
- 23-01-01 - 09:15 - 10:30 - Professor Elon - Funções Quadráticas I download
- 23-01-01 - 10:45 - 12:00 - Professor Morgado - Noções de Matemática Financeira download
- 24-01-01 - 09:15 - 10:30 - Professor Paulo Cezar - Funções Exponenciais I download
- 24-01-01 - 10:45 - 12:00 - Professor Wagner - Introdução ao Cálculo de Volumes download
- 25-01-01 - 09:15 - 10:30 - Professor Elon - Funções Quadráticas II download
- 25-01-01 - 10:45 - 12:00 - Professor Morgado - Combinatória I download
- 26-01-01 - 09:15 - 10:30 - Professor Paulo Cezar - Funções Exponenciais II download
- 26-01-01 - 10:45 - 12:00 - Professor Morgado - Combinatória II download

Equações lineares - Congruências

Equações lineares

Uma questão muito natural é investigar em que casos há alguma solução para equações lineares do tipo

$ax \equiv y \!\!\!\!\pmod{m}$

Exemplo de equação linear com apenas uma solução

Considere em $\mathbb{Z}_8$ a seguinte equação:

$3x = 2$

ou, em termos de congruências,

$3x \equiv 2 \!\!\!\!\pmod{8}$

Sabendo que $mdc(3,8)=1$ , é possível determinar $r,s$ tais que

$3r+8s=1$

Por exemplo, pode-se tomar $r=-5$ e $s=2$ . Outra possibilidade é $r=3$ e $s=-1$ . Neste caso, nota-se que:

$3\cdot 3 + 8\cdot (-1) \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{8}$

ou seja,

$3\cdot 3 + 0 \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{8}$

significando que $3 = 3^{-1}$ em $\mathbb{Z}_8$ , ou seja, que neste anel o inverso multiplicativo de $3$ é ele mesmo. Sabendo disso, é possível resolver

$3x \equiv 2 \!\!\!\!\pmod{8}$

de forma análoga à utilizada em $\mathbb{Z}$ : Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de $3$ , segue:

$3\cdot 3x \equiv 3\cdot 2 \!\!\!\!\pmod{8}$

ou seja,

$1 \cdot x \equiv 6 \!\!\!\!\pmod{8}$

Conclui-se então que, nesse exemplo, há uma somente uma solução em $\mathbb{Z}_8$ para a equação dada. Observe ainda que o número $y=2$ não teve qualquer influência no número de soluções para o problema. Isso pode ser percebido considerando para cada $x\in\mathbb{Z}_8$ o resultado de sua multiplicação por $a=3$ :

	0	1	2	3	4	5	6	7
$\times 3$	0	3	6	1	4	7	2	5

Note que se tem uma permutação dos elementos de $\mathbb{Z}_8$ e que, portanto, o único elemento que é levado em $2$ ao ser multiplicado por $3$ é o $6$ . Essa unicidade permaneceria se o $2$ fosse trocado por qualquer outro elemento.

Exemplo de equação linear sem solução

Considere a seguinte equação em $\mathbb{Z}_8$ :

$4x = 5$

que em termos de congruências se escreve como

$4x \equiv 5 \!\!\!\!\pmod{8}$

Já foi mostrado que ela é equivalente à seguinte equação em $\mathbb{Z}$ :

$4x = 5 + 8k$

ou seja,

$4(x - 2k) = 5$

É claro que tal equação não admite sequer uma solução inteira, uma vez que à esquerda tem-se um número par e a direita um ímpar, ou para ser mais exato, pois $4 = \mathrm{mdc}(4,8) \nmid 5$ .

Exemplo de equação linear com duas soluções

Como um último exemplo antes de conhecer o teorema que dá uma resposta definitiva sobre o número de soluções de uma equação linear em $\mathbb{Z}_m$ , considere em $\mathbb{Z}_8$ a equação:

$2x = 6$

ou seja,

$2x \equiv 6 \!\!\!\!\pmod{8}$

O problema de encontrar soluções para esta equação é equivalente a encontrar inteiros $x, y$ tais que:

$2x = 6 + 8y$

Dividindo ambos os membros por dois, obtem-se

$\frac{2}{2}x = \frac{6}{2} + \frac{8}{2}y$

ou seja,

$x = 3 + 4y$

Em termos de congruências, segue:

$x \equiv 3 \!\!\!\!\pmod{4}$

Os números inteiros que verificam essa congruência são os termos da progressão aritmética:

$\{ \ldots, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19, \ldots \}$

No entanto, como as soluções são buscadas em $\mathbb{Z}_8$ , devemos considerar os números acima módulo $8$ :

$\{ \ldots, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, \ldots \}$

ou seja, o conjunto das soluções é:

$S = \{ 3, 7 \}$

Em suma, verificou-se através dos exemplos anteriores que é possível encontrar em $\mathbb{Z}_8$ equações do tipo $ax=y$ que possuam uma ou duas soluções, e mesmo equações que não adimitem solução. Essa é uma notavel diferença entre corpos (como $\mathbb{R}$ , $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{Z}_p$ ) e anéis. Por exemplo, em $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{R}$ você deve estar habituado a resolver $ax=y$ , simplesmente dividindo os dois membros por $a$ (e talvez descrevendo esse procedimento como "passar o $a$ para o lado direito, dividindo..."). No entanto, é tempo de notar que isso só é possível quando $a$ possui inverso. Em $\mathbb{Q}$ , todo número não nulo possui inverso. Mas isso não é verdade em todo anel! Por essa razão torna-se necessário tomar algum cuidado ao resolver equações nos aneis $\mathbb{Z}_m$ . Fique atento!