Método de Jacobi
No método iterativo de Jacobi, busca-se isolar em cada equação uma variável e aplicar-se a todas elas a aproximação inicial proposta, no caso (0,0,0...0), chegando-se a outra aproximação, que se espera seja melhor que a anterior. Assim, isola-se x1 na primeira equação, x2 na segunda, ..., xn na enésima equação.
x1=f1(x2,x3,...,xn)
x2=f2(x1,x3,...,xn)
.................
xn=fn(x1,x2,..,xn-1)
Em seguida aplica-se no lado direito a proposta inicial (0,0,0...0) e chega-se a nova aproximação que será o ponto de partida da iteração seguinte.
Repetindo, este método chama-se Método Iterativo de Jacobi.
Vejamos um caso concreto.
Resolver o sistema abaixo pelo método de Jacobi.
10 x1 + 2 x2 – 3 x3 + 2 x4 = 32
2 x1 – 15 x2 + 3 x3 – 2 x4 = -59
1 x1 – 3 x2 + 20 x3 + 2 x4 = -38
2 x1 + 2 x2 – 1 x3 + 30 x4 = 160
Primeiramente, isola-se, em cada equação, uma variável.
x1 = (32 – 2 x2 + 3 x3 – 2 x4)/10
x2 = (-59 - 2 x1 –3 x3 + 2 x4)/(-15)
x3 = (-38 – 1 x1 + 3 x2 –2 x4)/20
x4 = (160 – 2 x1 – 2 x2 + 1 x3)/30
Admitindo-se como ponto de partida o vetor (0,0,0,0)T, aplica-se esse conjunto de valores às quatro equações dadas, buscando melhorar essa estimativa inicial. Com isso calculam-se os novos valores das variáveis.
Sendo x2 = 0 , x3 = 0 e x4 = 0 , o novo valor de x1 será x1 = 32/10 = 3,2
Sendo x1 = 0 , x3 = 0 e x4 = 0 , o novo valor de x2 será x2 = -59/(-15) = 3,933..
Sendo x1 = 0 , x2 = 0 e x4 = 0 , o novo valor de x3 será x3 = -38/20 = -1,9
Sendo x1 = 0 , x2 = 0 e x3 = 0 , o novo valor de x4 será x4 = 160/30 = 5,333...
Chegamos assim a uma nova estimativa do valor do vetor X, ou seja
(3,2 , 3,933... , 1,9 , 5,333...)T . Repetindo-se as operações anteriores com esses novos valores prosseguimos na busca da solução do sistema linear dado.
(0,0,0,0) à (3,2 , 3,933... , 1,9 , 5,333...) à (0,78 , 3,27 , -2,00 , 4,79) à
(0,99 , 3,00 , -1,93 , 5,00) à (1,02 , 3,01 , -2,00 , 5,00) à
(1,00 , 3,00 , -2,00 , 5,00) à (1,00 , 3,00 , -2,00 , 5,00)
Assim a solução do sistema de equações é :
x1 = 1,00 x2 = 3,00 x3 = -2,00 x4 = 5,00
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