EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES

Devido à aritmética, hoje são chamadas equações diofantinas todas as equações polinomiais (não importa o número de icógnitas) com coeficientes inteiros.

Equações Diofantinas Lineares em duas incógnitas, ou seja, equações do tipo ax + by = c, em que “a” e “b” são inteiros não nulos.
Uma solução de ax + by = c, é nesse contexto, um par (xo, yo) de inteiros tais que a sentença axo + byo = c, é verdadeira.

Inicialmente deduziremos uma condição para que a sentença

ax + by = c, tenha uma solução.

Proposições:
i – Uma equação diofantina linear ax + by = c, tem solução se, e somente se, d=mdc (a, b) é divisor de “c”.

Se a b e a c, então a (bx + cy), quaisquer que sejam os inteiros x e y.
ii – Se a equação diofantina ax + by = c, tem uma solução (xo, yo), então tem infinitas soluções e o conjunto destas é:

S = {(xo + (b/d)t, yo – (a/d)t) t Є Z}, em que d = mdc (a, b).

É interessante e talvez surpreendente observar que o fato de uma equação diofantina ax + by = c, ter infinitas soluções (quando tem uma) significa, geometricamente, que a reta de equação ax + by = c, possui uma infinidade de pontos de coordenadas inteiras do plano cartesiano.

Exercício

01 – Resolva as seguintes equações diofantinas lineares:
a) 3x + 4y = 20
b) 5x – 2y = 2
c) 18x – 20y = -8
d) 24x + 138y = 18

02 – Decomponha o número 100 em duas parcelas positivas tais que uma é múltiplo de 7 e a outra de 11. (problema do matemático L. Euler [1707 – 1783].)

03 – Ache todos os números inteiros estritamente positivos com a seguinte propriedade: dão resto 6 quando divididos por 11 e resto 3 quando dividido por 7.

04 – O valor da entrada de um cinema é R$ 8,00 e da meia entrada R$ 5,00. Qual é o menor número de pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$500,00?( Em tempo: a capacidade desse cinema é suficiente para esse número de pessoas.)

05 – Ao entrar num bosque, alguns viajantes avistam 37 montes de maçã. Após serem retiradas 17 frutas, o restante foi dividido igualmente entre 79 pessoas. Qual a parte de cada pessoa? (Problema de Mahaviracarya, matemático hindu.)

Fonte: http://universomatematico.wordpress.com/2008/03/08/equacoes-diofantinas-lineares/