Equações lineares - Congruências

Equações lineares

Uma questão muito natural é investigar em que casos há alguma solução para equações lineares do tipo

Exemplo de equação linear com apenas uma solução

Considere em a seguinte equação:

ou, em termos de congruências,

Sabendo que , é possível determinar tais que

Por exemplo, pode-se tomar e . Outra possibilidade é e . Neste caso, nota-se que:

ou seja,

significando que em , ou seja, que neste anel o inverso multiplicativo de é ele mesmo. Sabendo disso, é possível resolver

de forma análoga à utilizada em : Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de , segue:

ou seja,

Conclui-se então que, nesse exemplo, há uma somente uma solução em para a equação dada. Observe ainda que o número não teve qualquer influência no número de soluções para o problema. Isso pode ser percebido considerando para cada o resultado de sua multiplicação por :

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	3	6	1	4	7	2	5

Note que se tem uma permutação dos elementos de e que, portanto, o único elemento que é levado em ao ser multiplicado por é o . Essa unicidade permaneceria se o fosse trocado por qualquer outro elemento.

Exemplo de equação linear sem solução

Considere a seguinte equação em :

que em termos de congruências se escreve como

Já foi mostrado que ela é equivalente à seguinte equação em :

ou seja,

É claro que tal equação não admite sequer uma solução inteira, uma vez que à esquerda tem-se um número par e a direita um ímpar, ou para ser mais exato, pois .

Exemplo de equação linear com duas soluções

Como um último exemplo antes de conhecer o teorema que dá uma resposta definitiva sobre o número de soluções de uma equação linear em , considere em a equação:

ou seja,

O problema de encontrar soluções para esta equação é equivalente a encontrar inteiros tais que:

Dividindo ambos os membros por dois, obtem-se

ou seja,

Em termos de congruências, segue:

Os números inteiros que verificam essa congruência são os termos da progressão aritmética:

No entanto, como as soluções são buscadas em , devemos considerar os números acima módulo :

ou seja, o conjunto das soluções é:

Em suma, verificou-se através dos exemplos anteriores que é possível encontrar em equações do tipo que possuam uma ou duas soluções, e mesmo equações que não adimitem solução. Essa é uma notavel diferença entre corpos (como , e ) e anéis. Por exemplo, em ou você deve estar habituado a resolver , simplesmente dividindo os dois membros por (e talvez descrevendo esse procedimento como "passar o para o lado direito, dividindo..."). No entanto, é tempo de notar que isso só é possível quando possui inverso. Em , todo número não nulo possui inverso. Mas isso não é verdade em todo anel! Por essa razão torna-se necessário tomar algum cuidado ao resolver equações nos aneis . Fique atento!