MATEMÁTICA É ASSIM, TAMBÉM !: Congruências

quarta-feira, 13 de junho de 2012

Congruências

Definição

Definição

O inteiro $x$ é dito congruente ao inteiro $y$ módulo $m$ , quando $m|x-y$ . Neste caso, escreve-se $x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m}$ .

Com essa notação, tem-se para quaisquer inteiros $x,y$ :

$x^2 + y^2 \not \equiv 3\!\!\!\!\pmod{4}$

pois

$k \equiv 0\!\!\!\!\pmod{2} \Rightarrow k^2 \equiv 0\!\!\!\!\pmod{4}$

$k \equiv 1\!\!\!\!\pmod{2} \Rightarrow k^2 \equiv 1\!\!\!\!\pmod{4}$

Como se pode ver na próxima tabela, onde são listadas todas as combinações possíveis para $x^2, y^2$ e $x^2 + y^2$ módulo $2$ , a soma de dois quadrados nunca é congruente a $3$ módulo $4$ .

${}_{x^2}\!\!\diagdown\!\!^{y^2}$	0	1
0	0	1
1	1	2

Em outras palavras, o simples cálculo feito acima mostra que ao somar dois quadrados perfeitos, o sucessor do resultado nunca é múltiplo de $4$ .

Nota: $x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m} \Leftrightarrow m|x-y$ $\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, x-y=mk \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, x = y + mk$

Sendo assim, a notação para congruências, introduzida por Gauss evita o uso de várias constantes ( $k, c, m, t, \ldots$ ) que não são relevantes durante grande parte dos cálculos envolvendo divisibilidade. Atente para a semelhança (visual) entre as seguintes expressões:

$x \equiv y \!\!\!\!\pmod{m}$

$x = y + mk$

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