NÚMEROS IRRACIONAIS - 02

RAIZ QUADRADA DE 2: O PRIMEIRO DOS IRRACIONAIS

A raiz quadrada de 2 não é um número racional:

Demonstração

Aristóteles (384-322 a.C.), como exemplo de uma demonstração por redução ao absurdo, demonstrou que a raiz quadrada de 2 não é um número racional, isto é, não se pode escrever como uma fracção de dois números inteiros. Por absurdo, suponha-se que existem dois números naturais p e q, primos entre si, tais que 

   (isto é, suponhamos a fracção  escrita na forma irredutível) e .

 Então, ,  é um número par 

(porque )

e, consequentemente, p também é par (porque se fosse ímpar seria

  para algum número natural k e  

seria ímpar). Se p é um número par, existe um natural k tal que

  e assim 

 . 

Então q seria par (porque   é par), o que é absurdo visto que p e q são primos entre si.