Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions
Solution:
domingo, 8 de abril de 2012
CÁLCULO DE ÁREA - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS
Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions
Solution:
CÁLCULO DE ÁREAS - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS
Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions
Solution:
CÁLCULO DE ÁREAS - APLICAÇÃO DE INTEGRAIS
Problem: To find the area bounded by the graphs of the functions
Solution:
elevadomeio.jpg)
terça-feira, 3 de abril de 2012
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
Uma introdução às equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis
Portanto, o conjunto solução da equação dada poderá ser escrito como:
S = {... , (-335, -165), (-136, -67) , (63, 31), (262, 129), (461, 227) , ...}
Repare que nos pares ordenados (x, y) que compõem a solução da equação 98x – 199y = 5, os primeiros elementos x variam numa razão constante igual 199 , ou seja:
{ ..., -335, -136, 63, 262, 461, ... } e os segundos elementos y variam numa razão constante igual a 98, ou seja: { ... , -165, -67, 31, 129, 227, ... }
1 Chama-se equação diofantina do primeiro grau a duas variáveis, a toda equação da forma
ax + by = c, onde x e y são variáveis inteiras e a, b e c são números inteiros. Vemos, pois, que numa equação diofantina, tanto as variáveis como os coeficientes são números inteiros.
Nota: a designação equação diofantina, é uma singela homenagem dos matemáticos a Diofante de Alexandria - grego do século III D.C. Muito pouco se sabe sobre a vida do matemático Diofante, que deve ter vivido apenas 84 anos, segundo interpretações dos livros de História da Matemática.
O par ordenado de números inteiros (x0 , y0) é solução da equação ax + by = c se e somente se a.x0 + b.y0 = c.
Exemplo: o par ordenado (2, 7) é uma das soluções da equação diofantina 3x + 5y = 41, pois 3.2 + 5.7 = 6 + 35 = 41.
Exercício: Sendo k Î Z, determine a equação diofantina que admite como soluções os pares ordenados (x, y) tais que x = 10 + 2k e y = 3k – 8
Solução: de x = 10 + 2k, tiramos x – 10 = 2k , de onde vem k = (x – 10) / 2.
De y = 3k – 8 vem y + 8 = 3k , de onde vem k = (y + 8) / 3.
Portanto, igualando os valores de k, fica: (x – 10) / 2 = (y + 8) / 3
Multiplicando ambos os membros por 6, para eliminar os denominadores, fica:
3(x – 10) = 2(y + 8)
Desenvolvendo a expressão acima, vem: 3x – 30 = 2y + 16 .
Então , 3x – 2y = 16 + 30 = 46. Portanto, a equação procurada é 3x – 2y = 46.
Olhando a questão de um modo inverso, podemos dizer que a equação diofantina
3x – 2y = 46, possui infinitas soluções dadas pelos pares ordenados (x, y) tais que
x = 10 + 2k e y = 3k – 8, onde k Î Z .
ax + by = c, onde x e y são variáveis inteiras e a, b e c são números inteiros. Vemos, pois, que numa equação diofantina, tanto as variáveis como os coeficientes são números inteiros.
Nota: a designação equação diofantina, é uma singela homenagem dos matemáticos a Diofante de Alexandria - grego do século III D.C. Muito pouco se sabe sobre a vida do matemático Diofante, que deve ter vivido apenas 84 anos, segundo interpretações dos livros de História da Matemática.
O par ordenado de números inteiros (x0 , y0) é solução da equação ax + by = c se e somente se a.x0 + b.y0 = c.
Exemplo: o par ordenado (2, 7) é uma das soluções da equação diofantina 3x + 5y = 41, pois 3.2 + 5.7 = 6 + 35 = 41.
Exercício: Sendo k Î Z, determine a equação diofantina que admite como soluções os pares ordenados (x, y) tais que x = 10 + 2k e y = 3k – 8
Solução: de x = 10 + 2k, tiramos x – 10 = 2k , de onde vem k = (x – 10) / 2.
De y = 3k – 8 vem y + 8 = 3k , de onde vem k = (y + 8) / 3.
Portanto, igualando os valores de k, fica: (x – 10) / 2 = (y + 8) / 3
Multiplicando ambos os membros por 6, para eliminar os denominadores, fica:
3(x – 10) = 2(y + 8)
Desenvolvendo a expressão acima, vem: 3x – 30 = 2y + 16 .
Então , 3x – 2y = 16 + 30 = 46. Portanto, a equação procurada é 3x – 2y = 46.
Olhando a questão de um modo inverso, podemos dizer que a equação diofantina
3x – 2y = 46, possui infinitas soluções dadas pelos pares ordenados (x, y) tais que
x = 10 + 2k e y = 3k – 8, onde k Î Z .
Portanto, atribuindo valores inteiros a k, obteremos as soluções da equação 3x – 2y = 46.
Assim, por exemplo:
k = 0 Þ x = 10 e y = – 8, ou seja , o par (10, -8) é uma solução.
k = 1 Þ x = 12 e y = – 5, ou seja, o par (12, -5) é uma solução.
k = -1 Þ x = 8 e y = - 11, ou seja, o par (8, -11) é uma solução.
.....................................................................................................
k = 25 Þ x = 60 e y = 67, ou seja, o par (60, 67) é uma solução e assim sucessivamente.
Observe que como k Î Z e Z é um conjunto infinito, realmente existirão infinitas soluções inteiras para a equação diofantina 3x – 2y = 46.
2 Resolvendo equações diofantinas lineares de duas variáveis
Enunciaremos – sem demonstrar – dois teoremas básicos para a solução de equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis:
T 1 A equação diofantina ax + by = c terá soluções se e somente se o máximo divisor comum de a e b for um divisor de c., ou seja, mdc(a,b) divide c.
T 2 As soluções gerais da equação diofantina ax + by = c são dadas por:
onde k é um número inteiro e (x0 , y0) é uma solução particular de ax + by = c.
Assim, por exemplo:
k = 0 Þ x = 10 e y = – 8, ou seja , o par (10, -8) é uma solução.
k = 1 Þ x = 12 e y = – 5, ou seja, o par (12, -5) é uma solução.
k = -1 Þ x = 8 e y = - 11, ou seja, o par (8, -11) é uma solução.
.....................................................................................................
k = 25 Þ x = 60 e y = 67, ou seja, o par (60, 67) é uma solução e assim sucessivamente.
Observe que como k Î Z e Z é um conjunto infinito, realmente existirão infinitas soluções inteiras para a equação diofantina 3x – 2y = 46.
2 Resolvendo equações diofantinas lineares de duas variáveis
Enunciaremos – sem demonstrar – dois teoremas básicos para a solução de equações diofantinas do primeiro grau a duas variáveis:
T 1 A equação diofantina ax + by = c terá soluções se e somente se o máximo divisor comum de a e b for um divisor de c., ou seja, mdc(a,b) divide c.
T 2 As soluções gerais da equação diofantina ax + by = c são dadas por:
onde k é um número inteiro e (x0 , y0) é uma solução particular de ax + by = c.
Nota: mdc(a,b) = máximo divisor comum de a e b
Seja por exemplo resolver a equação 2x + 6y = 8, onde a = 2, b = 6 e c = 8.
Solução: Neste primeiro exemplo, vemos imediatamente que x = 1 e y = 1 é uma solução pois, 2.1 + 6.1 = 8.
Seja por exemplo resolver a equação 2x + 6y = 8, onde a = 2, b = 6 e c = 8.
Solução: Neste primeiro exemplo, vemos imediatamente que x = 1 e y = 1 é uma solução pois, 2.1 + 6.1 = 8.
Sabemos também de T 1 acima, que a equação possui solução, pois mdc(2,6) = 2 e 2 divide o termo independente c = 8.
Considerando-se que a = 2, b = 6 e que mdc(2,6) = 2 vem, substituindo os valores conhecidos:
a = 2, b = 6, mdc (a,b) = 2, x0 = 1 e y0 = 1, nas igualdades acima:
x = 1 – k . (6/2) = 1 – 3k
y = 1 + k . (2/2) = 1 + k onde k é um inteiro qualquer.
Atribuindo valores inteiros a k, iremos obtendo as soluções inteiras da equação 2x + 6y = 8. Vamos achar algumas soluções, usando a tabela abaixo:
a = 2, b = 6, mdc (a,b) = 2, x0 = 1 e y0 = 1, nas igualdades acima:
x = 1 – k . (6/2) = 1 – 3k
y = 1 + k . (2/2) = 1 + k onde k é um inteiro qualquer.
Atribuindo valores inteiros a k, iremos obtendo as soluções inteiras da equação 2x + 6y = 8. Vamos achar algumas soluções, usando a tabela abaixo:
| k | x | y |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | -2 | 2 |
| 2 | -5 | 3 |
| 3 | -8 | 4 |
| -1 | 4 | 0 |
| -2 | 7 | -1 |
Podemos então escrever o conjunto solução S da equação 2x + 6y = 8 na forma de pares ordenados (x,y) , ou seja:
S = {... , (7, -1), (4,0), (1,1), (-2,2), (-5,3), (-8,-4), ...}
S = {... , (7, -1), (4,0), (1,1), (-2,2), (-5,3), (-8,-4), ...}
Poderíamos também apresentar o conjunto solução S na forma geral:
S = {(x,y) | x = 1 – 3k e y = 1 + k, k Î Z}
S = {(x,y) | x = 1 – 3k e y = 1 + k, k Î Z}
3 Nem sempre é tão fácil achar de imediato uma solução particular (x0, y0) como no exemplo acima. Vamos resolver a seguir, algumas equações diofantinas do tipo ax + by = c.
3.1 Seja resolver a equação diofantina 8x – 3y = 5
Solução: Mesmo que você esteja com preguiça de fazer contas, você haverá de concordar comigo que x = 1 e y = 1 é uma solução da equação proposta, pois 8.1 – 3.1 = 8 – 3 = 5.
Temos portanto o x0 = 1 e o y0 = 1 (solução particular).
Como mdc (8,3) = 1, vem imediatamente, aplicando as fórmulas de T 2 acima:
x = 1 – k . (-3) / 1 = 1 + 3k
y = 1 + k . 8/1 = 1 + 8k onde k é um número inteiro.
Portanto, x = 1 + 3k e y = 1 + 8k , com k inteiro, representa a solução geral da equação proposta. Assim, o conjunto solução S da equação proposta pode ser escrito como:
S = {(x , y) Î ZxZ; x = 1 + 3k Ù y = 1 + 8k, k Î Z}
3.1 Seja resolver a equação diofantina 8x – 3y = 5
Solução: Mesmo que você esteja com preguiça de fazer contas, você haverá de concordar comigo que x = 1 e y = 1 é uma solução da equação proposta, pois 8.1 – 3.1 = 8 – 3 = 5.
Temos portanto o x0 = 1 e o y0 = 1 (solução particular).
Como mdc (8,3) = 1, vem imediatamente, aplicando as fórmulas de T 2 acima:
x = 1 – k . (-3) / 1 = 1 + 3k
y = 1 + k . 8/1 = 1 + 8k onde k é um número inteiro.
Portanto, x = 1 + 3k e y = 1 + 8k , com k inteiro, representa a solução geral da equação proposta. Assim, o conjunto solução S da equação proposta pode ser escrito como:
S = {(x , y) Î ZxZ; x = 1 + 3k Ù y = 1 + 8k, k Î Z}
Notas:
a) Z = conjunto dos números inteiros = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
b) ZxZ = produto cartesiano de Z por Z
c) Ù = símbolo lógico para a conjunção aditiva e.
d) repare que como k Î Z, e Z é um conjunto infinito, as soluções
x = 1 + 3k Ù y = 1 + 8k, nos levarão a infinitas soluções para a equação diofantina proposta.
a) Z = conjunto dos números inteiros = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
b) ZxZ = produto cartesiano de Z por Z
c) Ù = símbolo lógico para a conjunção aditiva e.
d) repare que como k Î Z, e Z é um conjunto infinito, as soluções
x = 1 + 3k Ù y = 1 + 8k, nos levarão a infinitas soluções para a equação diofantina proposta.
Determinemos algumas dessas soluções da equação 8x – 3y = 5, atribuindo valores inteiros a k:
Por exemplo, para k = -2, resulta :
x = 1 + 3(-2) = 1 – 6 = -5 e y = 1 + 8(-2) = - 15.
Logo, o par ordenado (-5, -15) é uma solução da equação proposta.
Com efeito, como a equação dada é 8x – 3y = 5, substituindo os valores de x e y, vem:
8(-5) – 3(- 15) = -40 + 45 = 5.
k = -1 Þ x = 1 + 3(-1) = -2 e y = 1 + 8(-1) = -7 \ o par ordenado (-2, -7) é outra solução.
k = 0 Þ x = 1 + 3.0 = 1 e y = 1 + 8.0 = 1 \ (1,1) é outra solução.
k = 1 Þ x = 1 + 3.1 = 4 e y = 1 + 8.1 = 9 \ (4,9) é outra solução.
k = 2 Þ x = 1 + 3.2 = 7 e y = 1 + 8.2 = 17 \ (7,17) é outra solução.
k = 3 Þ x = 1 + 3.3 = 10 e y = 1 + 8.3 = 25 \ (10, 25) é outra solução e assim sucessivamente. Poderemos escrever o conjunto solução da equação 8x – 3y = 5 também na forma:
S = { ... , (-5, -15), (-2, -7), (1, 1), (4,9), (7,17), (10, 25), ... }
Repare que nos pares ordenados (x, y) que compõem a solução da equação 8x – 3y = 5, os primeiros elementos x variam numa razão constante igual 3 , ou seja:
{ ..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, ... } e os segundos elementos y variam numa razão constante igual a 8, ou seja: { ... , -15, -7, 1, 9, 17, 25, ... }
3.2 Resolver a equação diofantina 98 x – 199 y = 5
Solução: Inicialmente deveremos verificar se a equação dada possui solução. Usando T 1 acima, vemos que mdc (98,199) = 1 e 1 divide 5. Logo, a equação proposta possui solução.
Por exemplo, para k = -2, resulta :
x = 1 + 3(-2) = 1 – 6 = -5 e y = 1 + 8(-2) = - 15.
Logo, o par ordenado (-5, -15) é uma solução da equação proposta.
Com efeito, como a equação dada é 8x – 3y = 5, substituindo os valores de x e y, vem:
8(-5) – 3(- 15) = -40 + 45 = 5.
k = -1 Þ x = 1 + 3(-1) = -2 e y = 1 + 8(-1) = -7 \ o par ordenado (-2, -7) é outra solução.
k = 0 Þ x = 1 + 3.0 = 1 e y = 1 + 8.0 = 1 \ (1,1) é outra solução.
k = 1 Þ x = 1 + 3.1 = 4 e y = 1 + 8.1 = 9 \ (4,9) é outra solução.
k = 2 Þ x = 1 + 3.2 = 7 e y = 1 + 8.2 = 17 \ (7,17) é outra solução.
k = 3 Þ x = 1 + 3.3 = 10 e y = 1 + 8.3 = 25 \ (10, 25) é outra solução e assim sucessivamente. Poderemos escrever o conjunto solução da equação 8x – 3y = 5 também na forma:
S = { ... , (-5, -15), (-2, -7), (1, 1), (4,9), (7,17), (10, 25), ... }
Repare que nos pares ordenados (x, y) que compõem a solução da equação 8x – 3y = 5, os primeiros elementos x variam numa razão constante igual 3 , ou seja:
{ ..., -5, -2, 1, 4, 7, 10, ... } e os segundos elementos y variam numa razão constante igual a 8, ou seja: { ... , -15, -7, 1, 9, 17, 25, ... }
3.2 Resolver a equação diofantina 98 x – 199 y = 5
Solução: Inicialmente deveremos verificar se a equação dada possui solução. Usando T 1 acima, vemos que mdc (98,199) = 1 e 1 divide 5. Logo, a equação proposta possui solução.
Como neste caso, não é tão imediato assim achar uma solução particular (x0, y0) e usar as fórmulas gerais de resolução mostradas em T 2 acima, vamos tentar um caminho alternativo.
Ora, já sabemos que as equações diofantinas só envolvem números inteiros.
Poderemos escrever:
98x = 199y + 5
Aqui vamos usar um artifício: fazer 199y = 196y + 3y. Fica: 98x = 196y + 3y + 5
Dividindo ambos os membros por 98, vem: x = 2y + (3y + 5) / 98
Como x e y são inteiros, a segunda parcela (3y + 5) / 98 deverá ser também um número inteiro. Seja k Î Z este número. Poderemos escrever: (3y + 5) / 98 = k
Daí, 3y + 5 = 98k \ 3y = 98k – 5 \ y = (98k – 5) / 3
Fazendo k = 1 na expressão acima obteremos: y = (98.1 – 5) / 3 = 93/3 = 31.
Substituindo o valor de y na equação dada, obteremos x :
98x = 199y + 5
Aqui vamos usar um artifício: fazer 199y = 196y + 3y. Fica: 98x = 196y + 3y + 5
Dividindo ambos os membros por 98, vem: x = 2y + (3y + 5) / 98
Como x e y são inteiros, a segunda parcela (3y + 5) / 98 deverá ser também um número inteiro. Seja k Î Z este número. Poderemos escrever: (3y + 5) / 98 = k
Daí, 3y + 5 = 98k \ 3y = 98k – 5 \ y = (98k – 5) / 3
Fazendo k = 1 na expressão acima obteremos: y = (98.1 – 5) / 3 = 93/3 = 31.
Substituindo o valor de y na equação dada, obteremos x :
98x – 199.31 = 5 \ 98x = 5 + 199.31 = 5 + 6169 = 6174 \ x = 6174/98 = 63.
Portanto, achamos uma solução particular da equação dada: x0 = 63 e y0 = 31.
Agora, vamos usar as fórmulas gerais vistas no item T 2 acima:
Temos: a = 98, b = -199, c = 5, x0 = 63, y0 = 31 e mdc (a,b) = 1.
Substituindo:
x = 63 – k . (-199/1) = 63 + 199k
y = 31 + k . (98/1) = 31 + 98k , onde k é um número inteiro.
Temos: a = 98, b = -199, c = 5, x0 = 63, y0 = 31 e mdc (a,b) = 1.
Substituindo:
x = 63 – k . (-199/1) = 63 + 199k
y = 31 + k . (98/1) = 31 + 98k , onde k é um número inteiro.
Atribuindo valores a k, obteremos seguidamente os valores de x e y. Vejamos algumas soluções na tabela a seguir:
k
|
x
|
y
|
-2
|
-335
|
-165
|
-1
|
-136
|
-67
|
0
|
63
|
31
|
1
|
262
|
129
|
2
|
461
|
227
|
Portanto, o conjunto solução da equação dada poderá ser escrito como:
S = {... , (-335, -165), (-136, -67) , (63, 31), (262, 129), (461, 227) , ...}
Repare que nos pares ordenados (x, y) que compõem a solução da equação 98x – 199y = 5, os primeiros elementos x variam numa razão constante igual 199 , ou seja:
{ ..., -335, -136, 63, 262, 461, ... } e os segundos elementos y variam numa razão constante igual a 98, ou seja: { ... , -165, -67, 31, 129, 227, ... }
Poderíamos também apresentar o conjunto solução S na forma geral:
S = {(x,y) | x = 63 + 199k e y = 31 + 98k, k Î Z}
Agora resolva este desafio enviado por Hélio Fragoso – um ilustre visitante do site.
O seguinte problema (adaptado para o nossa moeda) está no livro "536 Curious Problems & Puzzles", de Henry Dudeney, famoso criador de quebra-cabeças no século XIX.
Uma pessoa foi ao banco para descontar um cheque no valor de x reais e y centavos.
O caixa do banco errou na leitura do valor do cheque e pagou y reais e x centavos. A pessoa guardou o dinheiro no bolso sem verificar a quantia. No caminho de casa, ela gastou cinco centavos e quando chegou em casa verificou que tinha exatamente o dobro do valor do cheque. Sabendo-se que essa pessoa não levou dinheiro nenhum consigo quando foi ao banco, pergunta-se qual era o valor do cheque.
Dicas para a solução:
a) 1 real = 100 centavos, logo, x reais = 100x centavos.
Analogamente, y reais = 100y centavos.
b) o cheque de x reais e y centavos vale, pois, 100x + y centavos.
c) o valor pago pelo caixa, de y reais e x centavos vale, então, 100y + x centavos.
d) como a pessoa gastou 5 centavos e ao chegar em casa constatou possuir o dobro do valor do cheque, é lícito escrever: (100y + x) – 5 = 2(100x + y)
e) Simplificando essa igualdade, você obterá 98x – 199x = 5 , que é exatamente a equação diofantina resolvida no item 3.2 acima. Como a solução com dois dígitos decimais é x = 31 e
y = 63, é trivial concluir que o valor do cheque é R$31,63.
Verificação:
Agora resolva este desafio enviado por Hélio Fragoso – um ilustre visitante do site.
O seguinte problema (adaptado para o nossa moeda) está no livro "536 Curious Problems & Puzzles", de Henry Dudeney, famoso criador de quebra-cabeças no século XIX.
Uma pessoa foi ao banco para descontar um cheque no valor de x reais e y centavos.
O caixa do banco errou na leitura do valor do cheque e pagou y reais e x centavos. A pessoa guardou o dinheiro no bolso sem verificar a quantia. No caminho de casa, ela gastou cinco centavos e quando chegou em casa verificou que tinha exatamente o dobro do valor do cheque. Sabendo-se que essa pessoa não levou dinheiro nenhum consigo quando foi ao banco, pergunta-se qual era o valor do cheque.
Dicas para a solução:
a) 1 real = 100 centavos, logo, x reais = 100x centavos.
Analogamente, y reais = 100y centavos.
b) o cheque de x reais e y centavos vale, pois, 100x + y centavos.
c) o valor pago pelo caixa, de y reais e x centavos vale, então, 100y + x centavos.
d) como a pessoa gastou 5 centavos e ao chegar em casa constatou possuir o dobro do valor do cheque, é lícito escrever: (100y + x) – 5 = 2(100x + y)
e) Simplificando essa igualdade, você obterá 98x – 199x = 5 , que é exatamente a equação diofantina resolvida no item 3.2 acima. Como a solução com dois dígitos decimais é x = 31 e
y = 63, é trivial concluir que o valor do cheque é R$31,63.
Verificação:
Valor do cheque = 31,63
O caixa pagou 63,31
Tirando os cinco centavos: 63,31 – 0,05 = 63,26 = 2 . 31,63
Lembre-se que 5 centavos = R$0,05
O caixa pagou 63,31
Tirando os cinco centavos: 63,31 – 0,05 = 63,26 = 2 . 31,63
Lembre-se que 5 centavos = R$0,05
Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq10-205.htm
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
Devido à aritmética, hoje são chamadas equações diofantinas todas as equações polinomiais (não importa o número de icógnitas) com coeficientes inteiros.
Equações Diofantinas Lineares em duas incógnitas, ou seja, equações do tipo ax + by = c, em que “a” e “b” são inteiros não nulos.
Uma solução de ax + by = c, é nesse contexto, um par (xo, yo) de inteiros tais que a sentença axo + byo = c, é verdadeira.
Uma solução de ax + by = c, é nesse contexto, um par (xo, yo) de inteiros tais que a sentença axo + byo = c, é verdadeira.
Inicialmente deduziremos uma condição para que a sentença
ax + by = c, tenha uma solução.
Proposições:
i – Uma equação diofantina linear ax + by = c, tem solução se, e somente se, d=mdc (a, b) é divisor de “c”.
i – Uma equação diofantina linear ax + by = c, tem solução se, e somente se, d=mdc (a, b) é divisor de “c”.
Se a b e a c, então a (bx + cy), quaisquer que sejam os inteiros x e y.
ii – Se a equação diofantina ax + by = c, tem uma solução (xo, yo), então tem infinitas soluções e o conjunto destas é:
ii – Se a equação diofantina ax + by = c, tem uma solução (xo, yo), então tem infinitas soluções e o conjunto destas é:
S = {(xo + (b/d)t, yo – (a/d)t) t Є Z}, em que d = mdc (a, b).
É interessante e talvez surpreendente observar que o fato de uma equação diofantina ax + by = c, ter infinitas soluções (quando tem uma) significa, geometricamente, que a reta de equação ax + by = c, possui uma infinidade de pontos de coordenadas inteiras do plano cartesiano.
Exercício
01 – Resolva as seguintes equações diofantinas lineares:
a) 3x + 4y = 20
b) 5x – 2y = 2
c) 18x – 20y = -8
d) 24x + 138y = 18
a) 3x + 4y = 20
b) 5x – 2y = 2
c) 18x – 20y = -8
d) 24x + 138y = 18
02 – Decomponha o número 100 em duas parcelas positivas tais que uma é múltiplo de 7 e a outra de 11. (problema do matemático L. Euler [1707 – 1783].)
03 – Ache todos os números inteiros estritamente positivos com a seguinte propriedade: dão resto 6 quando divididos por 11 e resto 3 quando dividido por 7.
04 – O valor da entrada de um cinema é R$ 8,00 e da meia entrada R$ 5,00. Qual é o menor número de pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$500,00?( Em tempo: a capacidade desse cinema é suficiente para esse número de pessoas.)
05 – Ao entrar num bosque, alguns viajantes avistam 37 montes de maçã. Após serem retiradas 17 frutas, o restante foi dividido igualmente entre 79 pessoas. Qual a parte de cada pessoa? (Problema de Mahaviracarya, matemático hindu.)
Fonte: http://universomatematico.wordpress.com/2008/03/08/equacoes-diofantinas-lineares/
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
- GENERALIDADE:
O tipo mais simples de equações diofantinas é a equação diofantina linear com duas incógnitas x e y. Onde ax + by = c sendo a, b e c são inteiros dados, sendo ab ¹ 0.
Todo par de inteiros X0 ,Y0 tais que ax0+by0=c diz se uma solução inteira ou apenas uma solução da equação ax + by = c. Seja, por exemplo, a equação diofantina linear com duas incógnitas:
3x+6y=18, temos
3.(4)+6.(1)=18
3.(-6)+6.(6)=18
3.(10)+6.(-2)=18, Logo, os pares de inteiros: 4 e 1, -6 e 6, 10 e -2 são soluções da equação 3x+6y=18.
Existem equações diofantinas lineares com duas incógnitas que não tem solução. Assim, por exemplo, a equação diofantina linear: 2x+4y=7 não tem solução, porque 2x+4y é um inteiro par quaisquer que sejam os valores inteiros de x e y, enquanto que 7 é um inteiro ímpar ( observe que 2 = mdc(2,4), não divide 7)
De modo geral, a equação diofantina linear ax+by=c não tem solução todas as vezes que d = mdc (a,b) não divide c.
2. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO:
TEOREMA: A equação diofantina linear ax+by=c tem solução se e somente se d divide c, sendo d= mdc (a,b).
Demonstração: ( ===> ) Suponha que a equação ax+by=c tem uma solução, isto é, que existe um par de inteiros x0,y0 tais que ax0+by0=c. Por ser o mdc(a,b)=d, exitsem inteiros r e s tais que a= dr e b=ds, e temos:
c = ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d(rx0 + sy0)
E como rx0 + sy0 é um inteiro, segue-se que d divide c ( d|c).
( <=== ) Reciprocamente, suponhamos que d divide c (d|c), ito é, que c= dt, onde t é um inteiro. Por ser o mdc(a,b)=d, existem inteiros x0 e y0 tais que d=ax0+by0 o que implica:
c = dt = (ax0 + by0)t = a(tx0) + b(ty0), isto é, o par de inteiros :
x = tx0 = (c/d)x0, y = ty0 = (c/d)y0 é uma solução da equação ax+by=c.
3. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO ax + by = c.
TEOREMA: Se d divide c ou seja ( d|c), sendo d=mdc(a,b) e se o par de inteiros x0,y0 é uma solução particular da equação diofantina linear ax = by=c, então todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas:
x = x0 + (b/d)t, y = y0 - (a/d)t onde t é um inteiro arbitrário.
Demonstração: Suponhamos que o par de inteiros x0, y0 é uma solução particular da equação ax+by=c, e seja x1, y1 uma outra solução qualquer desta equação,. Então, temos : ax0 + by0 = c = ax1 + by1 e portanto : a(x1-x0) = b(y0-y1)
Por ser o mdc(a,b)=d, existem inteiros r e s tais que a= dr e b= ds, com r e s primos entre si. Substituindo estes valores de a e b na igualdade anterior e cancelando o fator com d, obtemos: r(x1-x0)= s (y0-y1). Assim sendo r| s (y0-y1), e como o mdc(r,s)=1, segue-se que r|(y0-y1), isto é:
y0 -y1 = rt e x1-x0= st, onde t é um inteiro. Portanto, temos as fórmulas:
x1= x0 + st = x0+ (b/d)t
y0 = y1 + rt = y0 - (a/d)t
Estes valores de x1 e y1 satisfazem realmente a equação ax+by=c, qualquer que seja o inteiro t, pois temos:
ax1 + by1 = a [x0 + (b/d)t] + b [y0 - (a/d)t] = (ax0 + by0) + (ab/d - ab/d)t = c+0.t = c
Como se vê, se d= mdc(a,b) divide c (d|c), então a equação diofantina linear ax+ by = c admite um número infinito de soluções, uma para cada valor do inteiro arbitrário t.
COROLÁRIO : Se o mdc(a,b)=1 e se x0,y0 é uma solução particular da equação diofantina linear ax+by=c, então todas as outras soluções desta equação são dadas pelas fórmulas: x = x0 + bt y = y0 - at onde t é um inteiro arbitrário.
NOTA: Uma solução da equação diofantina linear se obtém por tentativa ou pelo ALGORITMO DE EUCLIDES.
4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
i. Determinar todas as soluções da equação diofantina linear ; 172x + 20y = 1000
Solução: Determinamos inicialmente o mdc(172,20) pelo algoritmo de Euclides:
172 = 20 * 8 + 12
20 = 12 * 1 + 8
12 = 8 * 1 + 4
8 = 4 * 2
Portanto, o mdc(172,20)= 4 e como 4|1000, segue-se que a equação dada tem solução. Cabe-nos obter a expressão do inteiro 4 como combinação linear de 172 e 20, para que o que basta eliminar sucessivamente os restos 8 e 12 entre as três primeiras igualdades anteriores do seguinte modo:
4 = 12 - 8 = 12 (20 - 12) = 2 * 12 - 20 = 2 (172 - 20 * 8) - 20 = 172 * 2 + 20 (-17), isto é
4 = 172 * 2 + 20 * (-17), multiplicando ambos os membros desta igualdade por 1 000/4 = 250, obtemos:
1000 = 172 * 500 + 20 (-4250) Portanto, o par de inteiros x0 = 500, y0= -4250 é uma solução particular da equação proposta, e todas as outras soluções são dadas pelas fórmulas:
x = 500 + (20/4)t = 500 + 5t y = -4250 - (172/4)t = -4250 - 43t, onde t é um inteiro arbitrário.
ii. Determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear 18x + 5y = 48
Solução: Determinamos inicialmente o mdc(18,5) pelo algoritmo de Euclides:
3
|
1
|
1
|
2
| |
18
|
5
|
3
|
2
|
1
|
3
|
2
|
1
|
0
|
18 = 5 * 3 + 3
5 = 3 * 1 + 2
3 = 2 * 1 + 1
2 = 1 * 2
Portanto, o mdc(18,5)=1 e a equação dada tem solução. E para exprimir 1 como combinação linear de 18 e 5 basta eliminar os restos 2 e 3 entre as três primeiras igualdades anteriores do seguinte modo:
1 = 3 - 2 = 3 - ( 5 - 3) = 2 * 3 - 5 = 2 ( 18 - 5 * 3) - 5 = 18 * 2 + 5 (-7), isto é:
1= 18.(2)+ 5.(-7), multiplicando os termos por 48, obtemos: 48=18.(96) + 5 (-336), logo, o par de inteiros x0 = 96, y0 = -336 é uma solução particular da equação proposta, e todas as demais soluções são dadas pelas fórmulas: x = 96 + 5t e y = -336 - 18t, onde t é um inteiro arbitrário. As soluções inteiras e positivas se acham escolhendo t de modo que sejam satisfeitas as desigualdades:
96 + 5t > 0 è t < -19/5 e -336 - 18t > 0 è t < -336/18 implicando t = -19 e, portanto x = 96 + 5 (-19 ) = 1 e y = -336 - 18 (-19) = 6. Assim, o par de inteiros x = 1, y = 6 é a única solução inteira e positiva da equação 18x + 5y = 48.
iii. Resolver a equação diofantina linear 39x + 26y = 105
Solução: O mdc(39,26)=13 e como 13 não divide 105, segue-se que a equação dada não tem solução.
Texto extraído do endereço: http://jogoseducativos.tripod.com.br/diofantina.htm
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE EM N
| Critérios de divisibilidade em N - conjunto dos números naturais |
Já sabemos que se um número natural a não nulo, é divisor de um número natural b, então a divisão b:a é exata, ou seja, possui resto nulo. Diz-se neste caso que o número natural b é divisível pelo número natural a, ou simplesmente, b é divisível por a.
Exemplos:
10 é divisível por 5, porque 10:5 = 2 e resto zero ® 10 = 2.5
81 é divisível por 3, porque 81:3 = 27 e resto zero ® 81 = 27.3
1220 é divisível por 5, porque 1220:5 = 244 e resto zero ® 1220 = 244.5, etc
Vamos analisar alguns casos principais de divisibilidade em N - conjunto dos números naturais - por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 e 11.
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par.
Com efeito, seja n um número par; como todo número par é múltiplo de 2, podemos escrever:
n = q.2 com q natural, de onde tiramos n/2 = q, ou seja, n é divisível por 2.
Exemplos:
512 é divisível por 2 pois é par.
108 é divisível por 2 pois é par.
1234564 é divisível por 2 pois é par.
Divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por 3, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 3.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
Exemplos:
10 é divisível por 5, porque 10:5 = 2 e resto zero ® 10 = 2.5
81 é divisível por 3, porque 81:3 = 27 e resto zero ® 81 = 27.3
1220 é divisível por 5, porque 1220:5 = 244 e resto zero ® 1220 = 244.5, etc
Vamos analisar alguns casos principais de divisibilidade em N - conjunto dos números naturais - por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 e 11.
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par.
Com efeito, seja n um número par; como todo número par é múltiplo de 2, podemos escrever:
n = q.2 com q natural, de onde tiramos n/2 = q, ou seja, n é divisível por 2.
Exemplos:
512 é divisível por 2 pois é par.
108 é divisível por 2 pois é par.
1234564 é divisível por 2 pois é par.
Divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por 3, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 3.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 3, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 3, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 3 deve ter resto nulo.
Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 3, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 3.
Observe que 999a / 3 = 333a, 99b / 3 = 33b e 9c / 3 = 3c.
Nota: se um número é divisível por 2 e por 3, ele também será divisível por 6.
Exemplos:
234 é divisível por 3, pois 2 + 3 + 4 = 9 e 9 é divisível por 3.
1002 é divisível por 3, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3 e 3 é divisível por 3.
1971 é divisível por 3, pois 1 + 9 + 7 + 1 = 18 e 18 é divisível por 3.
334560 é divisível por 3, pois 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0 = 21 e 21 é divisível por 3.
Observe que, como 334560 é também divisível por 2, porque é par, ele também será divisível
por 6. Realmente, 334560 : 6 = 55760 e o resto é igual a zero.
Divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4.
Com efeito, seja abc um número genérico de 3 algarismos. Pelo princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abc = 100a + 10b + c
Como 100a é divisível por 4, o segundo membro da igualdade somente será divisível por 4 se 10b + c for divisível por 4, o que justifica a regra acima.
Exemplos:
1404 é divisível por 4, pois 04 = 4 é divisível por 4.
1280 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4.
1432028 é divisível por 4, pois 28 é divisível por 4.
200000016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5, quando o seu último algarismo é 0 ou 5.
Com efeito, seja abcd um número qualquer de 4 algarismos. Poderemos escrever pelo princípio do valor posicional:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Ora, é fácil perceber que o segundo membro da igualdade acima somente será divisível por 5,
se a parcela d for igual a 0 ou 5. Observe que as demais parcelas, 1000a, 100b e 10c já são múltiplas de 5.
Exemplos:
1235 é divisível por 5, pois termina em 5.
12000 é divisível por 5, pois termina em zero.
Divisibilidade por 6
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 3, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 3, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 3 deve ter resto nulo.
Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 3, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 3.
Observe que 999a / 3 = 333a, 99b / 3 = 33b e 9c / 3 = 3c.
Nota: se um número é divisível por 2 e por 3, ele também será divisível por 6.
Exemplos:
234 é divisível por 3, pois 2 + 3 + 4 = 9 e 9 é divisível por 3.
1002 é divisível por 3, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3 e 3 é divisível por 3.
1971 é divisível por 3, pois 1 + 9 + 7 + 1 = 18 e 18 é divisível por 3.
334560 é divisível por 3, pois 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0 = 21 e 21 é divisível por 3.
Observe que, como 334560 é também divisível por 2, porque é par, ele também será divisível
por 6. Realmente, 334560 : 6 = 55760 e o resto é igual a zero.
Divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4.
Com efeito, seja abc um número genérico de 3 algarismos. Pelo princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abc = 100a + 10b + c
Como 100a é divisível por 4, o segundo membro da igualdade somente será divisível por 4 se 10b + c for divisível por 4, o que justifica a regra acima.
Exemplos:
1404 é divisível por 4, pois 04 = 4 é divisível por 4.
1280 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4.
1432028 é divisível por 4, pois 28 é divisível por 4.
200000016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5, quando o seu último algarismo é 0 ou 5.
Com efeito, seja abcd um número qualquer de 4 algarismos. Poderemos escrever pelo princípio do valor posicional:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Ora, é fácil perceber que o segundo membro da igualdade acima somente será divisível por 5,
se a parcela d for igual a 0 ou 5. Observe que as demais parcelas, 1000a, 100b e 10c já são múltiplas de 5.
Exemplos:
1235 é divisível por 5, pois termina em 5.
12000 é divisível por 5, pois termina em zero.
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6, quando ele for divisível por 2 e por 3
Exemplo: 240 é divisível por 2 e por 3 e, portanto, é divisível por 6.
Exemplo: 240 é divisível por 2 e por 3 e, portanto, é divisível por 6.
Divisibilidade por 7
Ô mundo estranho para o 7! Um número natural é divisível por 7 se, quando o número original, sem considerar o último algarismo, for subtraído do dobro do último algarismo dele, resultar num número que você possa identificar como um número divisível por 7. Se não der para identificar neste primeiro passo, repita o procedimento; se ainda não der, repita de novo ... ô mundo estranho para o 7!
Exemplo: 9296 é divisível por 7 pois, 929 - 2.6 = 917 e 917: 7 = 131 (divisão exata).
Divisibilidade por 8
Um número natural é divisível por 8 quando o número formado pelos tres últimos algarismos do número original, resultar num número divisível por 8
Exemplo: 25232 é divisível por 8 porque 232:8 = 29 (resto zero).
Divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 9.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
Ô mundo estranho para o 7! Um número natural é divisível por 7 se, quando o número original, sem considerar o último algarismo, for subtraído do dobro do último algarismo dele, resultar num número que você possa identificar como um número divisível por 7. Se não der para identificar neste primeiro passo, repita o procedimento; se ainda não der, repita de novo ... ô mundo estranho para o 7!
Exemplo: 9296 é divisível por 7 pois, 929 - 2.6 = 917 e 917: 7 = 131 (divisão exata).
Divisibilidade por 8
Um número natural é divisível por 8 quando o número formado pelos tres últimos algarismos do número original, resultar num número divisível por 8
Exemplo: 25232 é divisível por 8 porque 232:8 = 29 (resto zero).
Divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 9.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 9, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 9, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 9 deve ter resto nulo. Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 9, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 9.
Observe que 999a / 9 = 111a, 99b / 9 = 11b e 9c / 9 = c.
Exemplos:
918 é divisível por 9, pois 9 + 1 + 8 = 18 e 18 é divisível por 9.
1233 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 3 = 9 e 9 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Para que o segundo membro da igualdade acima seja divisível por 10, basta que
d = 0, já que as parcelas 1000a, 100b e 10c são evidentemente divisíveis por 10.
Exemplos:
1250 é divisível por 10, pois termina em zero.
134000 é divisível por 10, pois termina em zero.
Divisibilidade por 11
Um número natural é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par, resultar num número divisível por 11. Outra regra de divisibilidade estranha, sô! (os mineiros que visitam o site, entendem o sô!)
Exemplo: o número 257 980 602 é divisível por 11 pois (2 + 7 + 8 + 6 + 2) = 25 menos (5 + 9 + 0 + 0) = 14 é igual a
25 - 14 = 11 e 11 é divisível por 11. Realmente, 257980602 / 11 = 23452782 (divisão exata).
Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq11-9.htm
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 9, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 9, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 9 deve ter resto nulo. Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 9, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 9.
Observe que 999a / 9 = 111a, 99b / 9 = 11b e 9c / 9 = c.
Exemplos:
918 é divisível por 9, pois 9 + 1 + 8 = 18 e 18 é divisível por 9.
1233 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 3 = 9 e 9 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Para que o segundo membro da igualdade acima seja divisível por 10, basta que
d = 0, já que as parcelas 1000a, 100b e 10c são evidentemente divisíveis por 10.
Exemplos:
1250 é divisível por 10, pois termina em zero.
134000 é divisível por 10, pois termina em zero.
Divisibilidade por 11
Um número natural é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par, resultar num número divisível por 11. Outra regra de divisibilidade estranha, sô! (os mineiros que visitam o site, entendem o sô!)
Exemplo: o número 257 980 602 é divisível por 11 pois (2 + 7 + 8 + 6 + 2) = 25 menos (5 + 9 + 0 + 0) = 14 é igual a
25 - 14 = 11 e 11 é divisível por 11. Realmente, 257980602 / 11 = 23452782 (divisão exata).
Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq11-9.htm
Assinar:
Postagens (Atom)