| Critérios de divisibilidade em N - conjunto dos números naturais |
Já sabemos que se um número natural a não nulo, é divisor de um número natural b, então a divisão b:a é exata, ou seja, possui resto nulo. Diz-se neste caso que o número natural b é divisível pelo número natural a, ou simplesmente, b é divisível por a.
Exemplos:
10 é divisível por 5, porque 10:5 = 2 e resto zero ® 10 = 2.5
81 é divisível por 3, porque 81:3 = 27 e resto zero ® 81 = 27.3
1220 é divisível por 5, porque 1220:5 = 244 e resto zero ® 1220 = 244.5, etc
Vamos analisar alguns casos principais de divisibilidade em N - conjunto dos números naturais - por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 e 11.
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par.
Com efeito, seja n um número par; como todo número par é múltiplo de 2, podemos escrever:
n = q.2 com q natural, de onde tiramos n/2 = q, ou seja, n é divisível por 2.
Exemplos:
512 é divisível por 2 pois é par.
108 é divisível por 2 pois é par.
1234564 é divisível por 2 pois é par.
Divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por 3, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 3.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
Exemplos:
10 é divisível por 5, porque 10:5 = 2 e resto zero ® 10 = 2.5
81 é divisível por 3, porque 81:3 = 27 e resto zero ® 81 = 27.3
1220 é divisível por 5, porque 1220:5 = 244 e resto zero ® 1220 = 244.5, etc
Vamos analisar alguns casos principais de divisibilidade em N - conjunto dos números naturais - por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 e 11.
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par.
Com efeito, seja n um número par; como todo número par é múltiplo de 2, podemos escrever:
n = q.2 com q natural, de onde tiramos n/2 = q, ou seja, n é divisível por 2.
Exemplos:
512 é divisível por 2 pois é par.
108 é divisível por 2 pois é par.
1234564 é divisível por 2 pois é par.
Divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por 3, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 3.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 3, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 3, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 3 deve ter resto nulo.
Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 3, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 3.
Observe que 999a / 3 = 333a, 99b / 3 = 33b e 9c / 3 = 3c.
Nota: se um número é divisível por 2 e por 3, ele também será divisível por 6.
Exemplos:
234 é divisível por 3, pois 2 + 3 + 4 = 9 e 9 é divisível por 3.
1002 é divisível por 3, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3 e 3 é divisível por 3.
1971 é divisível por 3, pois 1 + 9 + 7 + 1 = 18 e 18 é divisível por 3.
334560 é divisível por 3, pois 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0 = 21 e 21 é divisível por 3.
Observe que, como 334560 é também divisível por 2, porque é par, ele também será divisível
por 6. Realmente, 334560 : 6 = 55760 e o resto é igual a zero.
Divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4.
Com efeito, seja abc um número genérico de 3 algarismos. Pelo princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abc = 100a + 10b + c
Como 100a é divisível por 4, o segundo membro da igualdade somente será divisível por 4 se 10b + c for divisível por 4, o que justifica a regra acima.
Exemplos:
1404 é divisível por 4, pois 04 = 4 é divisível por 4.
1280 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4.
1432028 é divisível por 4, pois 28 é divisível por 4.
200000016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5, quando o seu último algarismo é 0 ou 5.
Com efeito, seja abcd um número qualquer de 4 algarismos. Poderemos escrever pelo princípio do valor posicional:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Ora, é fácil perceber que o segundo membro da igualdade acima somente será divisível por 5,
se a parcela d for igual a 0 ou 5. Observe que as demais parcelas, 1000a, 100b e 10c já são múltiplas de 5.
Exemplos:
1235 é divisível por 5, pois termina em 5.
12000 é divisível por 5, pois termina em zero.
Divisibilidade por 6
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 3, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 3, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 3 deve ter resto nulo.
Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 3, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 3.
Observe que 999a / 3 = 333a, 99b / 3 = 33b e 9c / 3 = 3c.
Nota: se um número é divisível por 2 e por 3, ele também será divisível por 6.
Exemplos:
234 é divisível por 3, pois 2 + 3 + 4 = 9 e 9 é divisível por 3.
1002 é divisível por 3, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3 e 3 é divisível por 3.
1971 é divisível por 3, pois 1 + 9 + 7 + 1 = 18 e 18 é divisível por 3.
334560 é divisível por 3, pois 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 0 = 21 e 21 é divisível por 3.
Observe que, como 334560 é também divisível por 2, porque é par, ele também será divisível
por 6. Realmente, 334560 : 6 = 55760 e o resto é igual a zero.
Divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4, quando os dois últimos algarismos da direita formam um número divisível por 4.
Com efeito, seja abc um número genérico de 3 algarismos. Pelo princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abc = 100a + 10b + c
Como 100a é divisível por 4, o segundo membro da igualdade somente será divisível por 4 se 10b + c for divisível por 4, o que justifica a regra acima.
Exemplos:
1404 é divisível por 4, pois 04 = 4 é divisível por 4.
1280 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4.
1432028 é divisível por 4, pois 28 é divisível por 4.
200000016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5, quando o seu último algarismo é 0 ou 5.
Com efeito, seja abcd um número qualquer de 4 algarismos. Poderemos escrever pelo princípio do valor posicional:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Ora, é fácil perceber que o segundo membro da igualdade acima somente será divisível por 5,
se a parcela d for igual a 0 ou 5. Observe que as demais parcelas, 1000a, 100b e 10c já são múltiplas de 5.
Exemplos:
1235 é divisível por 5, pois termina em 5.
12000 é divisível por 5, pois termina em zero.
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6, quando ele for divisível por 2 e por 3
Exemplo: 240 é divisível por 2 e por 3 e, portanto, é divisível por 6.
Exemplo: 240 é divisível por 2 e por 3 e, portanto, é divisível por 6.
Divisibilidade por 7
Ô mundo estranho para o 7! Um número natural é divisível por 7 se, quando o número original, sem considerar o último algarismo, for subtraído do dobro do último algarismo dele, resultar num número que você possa identificar como um número divisível por 7. Se não der para identificar neste primeiro passo, repita o procedimento; se ainda não der, repita de novo ... ô mundo estranho para o 7!
Exemplo: 9296 é divisível por 7 pois, 929 - 2.6 = 917 e 917: 7 = 131 (divisão exata).
Divisibilidade por 8
Um número natural é divisível por 8 quando o número formado pelos tres últimos algarismos do número original, resultar num número divisível por 8
Exemplo: 25232 é divisível por 8 porque 232:8 = 29 (resto zero).
Divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 9.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
Ô mundo estranho para o 7! Um número natural é divisível por 7 se, quando o número original, sem considerar o último algarismo, for subtraído do dobro do último algarismo dele, resultar num número que você possa identificar como um número divisível por 7. Se não der para identificar neste primeiro passo, repita o procedimento; se ainda não der, repita de novo ... ô mundo estranho para o 7!
Exemplo: 9296 é divisível por 7 pois, 929 - 2.6 = 917 e 917: 7 = 131 (divisão exata).
Divisibilidade por 8
Um número natural é divisível por 8 quando o número formado pelos tres últimos algarismos do número original, resultar num número divisível por 8
Exemplo: 25232 é divisível por 8 porque 232:8 = 29 (resto zero).
Divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos é também divisível por 9.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 9, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 9, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 9 deve ter resto nulo. Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 9, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 9.
Observe que 999a / 9 = 111a, 99b / 9 = 11b e 9c / 9 = c.
Exemplos:
918 é divisível por 9, pois 9 + 1 + 8 = 18 e 18 é divisível por 9.
1233 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 3 = 9 e 9 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Para que o segundo membro da igualdade acima seja divisível por 10, basta que
d = 0, já que as parcelas 1000a, 100b e 10c são evidentemente divisíveis por 10.
Exemplos:
1250 é divisível por 10, pois termina em zero.
134000 é divisível por 10, pois termina em zero.
Divisibilidade por 11
Um número natural é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par, resultar num número divisível por 11. Outra regra de divisibilidade estranha, sô! (os mineiros que visitam o site, entendem o sô!)
Exemplo: o número 257 980 602 é divisível por 11 pois (2 + 7 + 8 + 6 + 2) = 25 menos (5 + 9 + 0 + 0) = 14 é igual a
25 - 14 = 11 e 11 é divisível por 11. Realmente, 257980602 / 11 = 23452782 (divisão exata).
Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq11-9.htm
abcd = (999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d
Arrumando convenientemente, fica:
abcd = 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d)
Ora, para que o número abcd seja divisível por 9, o segundo membro da igualdade acima deverá ser também divisível por 9, ou seja, o quociente 999a + 99b + 9c + (a + b + c + d) / 9 deve ter resto nulo. Então, deveremos ter necessariamente neste caso, que a soma a + b + c + d seja divisível por 9, pois as demais parcelas já são todas múltiplas de 9.
Observe que 999a / 9 = 111a, 99b / 9 = 11b e 9c / 9 = c.
Exemplos:
918 é divisível por 9, pois 9 + 1 + 8 = 18 e 18 é divisível por 9.
1233 é divisível por 9, pois 1 + 2 + 3 + 3 = 9 e 9 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando o seu último algarismo é 0.
Com efeito, seja abcd um número genérico de 4 algarismos. Usando o princípio do valor posicional, poderemos escrever:
abcd = 1000.a + 100.b + 10.c + d
Para que o segundo membro da igualdade acima seja divisível por 10, basta que
d = 0, já que as parcelas 1000a, 100b e 10c são evidentemente divisíveis por 10.
Exemplos:
1250 é divisível por 10, pois termina em zero.
134000 é divisível por 10, pois termina em zero.
Divisibilidade por 11
Um número natural é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem ímpar menos a soma dos algarismos de ordem par, resultar num número divisível por 11. Outra regra de divisibilidade estranha, sô! (os mineiros que visitam o site, entendem o sô!)
Exemplo: o número 257 980 602 é divisível por 11 pois (2 + 7 + 8 + 6 + 2) = 25 menos (5 + 9 + 0 + 0) = 14 é igual a
25 - 14 = 11 e 11 é divisível por 11. Realmente, 257980602 / 11 = 23452782 (divisão exata).
Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq11-9.htm
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