Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é uma variante do método de Jacobi, onde se busca acelerar a solução. Para tanto, aplica-se a aproximação inicial ao cálculo de x1, isto é: x1=f1(0,0...0) e em seguida já se utiliza esse novo valor de x1 no cálculo de x2, isto é: x2=f2(x1,0..0) e assim por diante. Em princípio esse método tende a convergir mais rápido que o de Jacobi, havendo casos em que isso não ocorre por compensação de erros.
Vejamos o mesmo exemplo anterior sendo resolvido pelo método de Gauss-Seidel.
Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss-Seidel
10 x1 + 2 x2 – 3 x3 + 2 x4 = 32
2 x1 – 15 x2 + 3 x3 – 2 x4 = -59
1 x1 – 3 x2 + 20 x3 + 2 x4 = -38
2 x1 + 2 x2 – 1 x3 + 30 x4 = 160
Isola-se, da mesma maneira, em cada equação, uma variável.
x1 = (32 – 2 x2 + 3 x3 – 2 x4)/10
x2 = (-59 - 2 x1 –3 x3 + 2 x4)/(-15)
x3 = (-38 – 1 x1 + 3 x2 –2 x4)/20
x4 = (160 – 2 x1 – 2 x2 + 1 x3)/30
Sendo (0,0,0,0)T o ponto de partida, calcula-se x1 neste ponto.
x1 = (32 – 0 + 0 – 0) / 10 = 3,2
Já se usa este valor de x1 no cálculo de x2, isto é:
x2 = (-59 – 2 x 3,2 + 0 – 0)/(-15) = 4,36
x3 = (-38 – 3,2 + 3 x 4,36 –0)/20 = -1,41
x4 = (160 – 2 x 3,2 – 2 x 4,36 + (-1,41))/30 = 4,78
Chegamos ao valor (3,2 , 4,36 , -1,41 , 4,78)T
Daí a seqüência de valores:
(0,0,0,0) à (3,2 , 4,36 , -1,41 , 4,78) à (0,95 , 3,14 , -1,95 , 5,00) à
(0,99 , 3,01 , -2,00 , 5,00) à (1,00 , 3,00 , -2,00 , 5,00)
(1,00 , 3,00 , -2,00, 5,00)
Como vimos houve convergência para a solução.
Devemos repetir as iterações até que os valores comecem praticamente a se repetir, sinal de que já chegamos aos valores desejados.
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