PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Mostre que a expressão é divisível por 25.

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Verifique pelo princípio da indução a divisibilidade por (a - b).

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Mostre pelo princípio de indução que é divisível por 9.

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

how to prove that (a+b)(b+c)(c+a)>8abc

First we prove the lemma: 



Proof:
       <----because the square of a real number is 
                            never negative

   <----squaring out the left side

 <----adding  to both sides

     <----factoring the left side 

     <----taking non-negative square roots
                            of both sides

Similarly we can prove 



and



just by changing the letters in the first proof.

Therefore, multiplying the left and right sides of the
three inequalities:

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Utilizando o P.I.F., demonstre a seguinte propriedade:

1+3+5+...+(2n-1) = n²

Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução: 1+3+5+...+(2n-1) = n².
Vamos escrever P(1): 1=1². Portanto, P(1) vale.
Suponhamos que P(k) vale, ou seja: 1+3+5+...+[2k-1] = k² .
Vamos mostrar que, valendo P(k), vale P(k+1), ou seja:1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)² .
Sabemos que: 1+3+5+...+2k-1 = k² .
Temos então:
                                    1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k²+(2k+1) = k²+2k+1 = (k+1)² .

Portanto P(k+1) vale.
Logo, P(n) vale para todo n  1.

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Utilizando o P.I.F., demonstre a seguinte propriedade:

(1+r)ⁿ 1+r.n, para todo r > 0.

Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução:

(1+r)ⁿ  1+r.n.

Vamos escrever P(1): (1+r)=1+r.1. Portanto, P(1) vale.
Suponhamos agora que vale P(k), ou seja, (1+r)^k  1+r.k
Verifiquemos que, se vale P(k), então vale P(k+1), isto é, (1+r)^k+1  1+r.(k+1)
Temos:                              (1+r)^k+1= (1+r)^k.(1+r)  (1+r.k).(1+r) = 1+r.k+r+r².k  1+ r.(k + 1),

Portanto, P(k+1) vale.
Logo, P(n) vale para todo n 1.
Observemos que, para n=0, a propriedade também vale, pois  e 1+r.0=1. Portanto, P(n) vale para todo .