Esse blog é de caráter pessoal e destina-se aos alunos e companheiros interessados em Matemática.
Sendo a internet uma vasta rede de informações que se perde em quantidade de conteúdo, o que pretendemos é juntar todas essas informações em um local que meus alunos possam ter acesso de forma mais simples. Logo para construção desse blog o que estamos fazendo é garimpando na rede tudo que consideramos relevante e postando em um único lugar.

terça-feira, 24 de janeiro de 2012

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Mostre que a expressão é divisível por 25.



PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA



PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA



PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA



PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA





PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA



PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Verifique pelo princípio da indução a divisibilidade por (a - b).

PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Mostre pelo princípio de indução que é divisível por 9.

DESIGUALDADES




DESIGUALDADES


segunda-feira, 23 de janeiro de 2012

DESIGUALDADES


DESIGUALDADES


how to prove that (a+b)(b+c)(c+a)>8abc



First we prove the lemma: 

a%2Bb+%3E=+2sqrt%28ab%29

Proof:
%28a-b%29%5E2%3E=0       <----because the square of a real number is 
                            never negative

a%5E2-2ab%2Bb%5E2%3E=0   <----squaring out the left side

a%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%3E=4ab <----adding 4ab to both sides

%28a%2Bb%29%5E2%3E=4ab     <----factoring the left side 

%28a%2Bb%29%3E=2sqrt%28ab%29     <----taking non-negative square roots
                            of both sides

Similarly we can prove 

%28b%2Bc%29%3E=2sqrt%28bc%29

and

%28c%2Ba%29%3E=2sqrt%28ca%29

just by changing the letters in the first proof.

Therefore, multiplying the left and right sides of the
three inequalities:

system%28%28a%2Bb%29%3E=2sqrt%28ab%29%2C%28b%2Bc%29%3E=2sqrt%28bc%29%2C%28c%2Ba%29%3E=2sqrt%28ac%29%29

%28a%2Bb%29%28b%2Bc%29%28c%2Ba%29%3E=%282sqrt%28ab%29%29%282sqrt%28bc%29%29%282sqrt%28ca%29%29=8sqrt%28a%5E2b%5E2c%5E2%29=8abc



PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA


PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA





PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Utilizando o P.I.F., demonstre a seguinte propriedade:



1+3+5+...+(2n-1) = n2

Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução: 1+3+5+...+(2n-1) = n2.
Vamos escrever P(1): 1=12. Portanto, P(1) vale.
Suponhamos que P(k) vale, ou seja: 1+3+5+...+[2k-1] = k2 .
Vamos mostrar que, valendo P(k), vale P(k+1), ou seja:1+3+5+...+(2k+1) = (k+1)2 .
Sabemos que: 1+3+5+...+2k-1 = k2 .
Temos então:
                                    1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k2+(2k+1) = k2+2k+1 = (k+1)2 .

Portanto P(k+1) vale.

Logo, P(n) vale para todo n  1.




PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA

Utilizando o P.I.F., demonstre a seguinte propriedade:



(1+r)n 1+r.n, para todo r > 0.


Seja P(n) a afirmação a ser provada por indução:
(1+r)n  1+r.n.
Vamos escrever P(1): (1+r)=1+r.1. Portanto, P(1) vale.
Suponhamos agora que vale P(k), ou seja, (1+r)k  1+r.k
Verifiquemos que, se vale P(k), então vale P(k+1), isto é, (1+r)k+1  1+r.(k+1)
Temos:                              (1+r)k+1= (1+r)k.(1+r)  (1+r.k).(1+r) = 1+r.k+r+r2.k  1+ r.(k + 1),


Portanto, P(k+1) vale.
Logo, P(n) vale para todo n 1.
Observemos que, para n=0, a propriedade também vale, pois  e 1+r.0=1. Portanto, P(n) vale para todo .