INTEGRAIS TRIPLAS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIO:

Use a transformação  e  para calcular a integral

primeiro escrevendo-a como uma integral sobre uma região G no plano  .

RESOLUÇÃO:

Dos extremos de integração percebe-se que a região de integração é limitada pelas retas  e  com y no intervalo  . Essa região está ilustrada na figura abaixo.

Por outro lado, com a transformação dada, tem-se

 e  .

Logo, as retas  e  no plano Oxy correspondem às retas  = 0 e  = 2 no plano Ouv. Além disso, como  , a reta  no plano Oxy corresponde à reta  no plano Ouv. A figura abaixo ilustra a região G no plano Ouv correspondente à região no plano Oxy

Para o cálculo da integral, é necessário calcular o jacobiano da transformação, que é o determinante da matriz

Finalmente, usando a fórmula de mudança de variáveis, segue-se que